600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

8 年前,一位天才數學家宣稱自己解決了數學史上最富傳奇色彩的未解猜想,如今其研究論文終於要發表了。當地時間 2020 年 4 月 3
日,日本天才數學家、京都大學教授、比特幣疑似創始人望月新一在京都大學數理解析研究所的兩位同事柏原正樹和玉川安騎男召開新聞發布會宣布:望月新一關於 abc 猜想(abc conjecture)的證明終於被學術期刊《數理解析研究所公刊》(PRIMS)接收,即將正式發表。

這一曾引發數學界神仙打架的研究成果,在歷經了 8 年的同行審議後得以解除封印,再次引起全球科學界廣泛關注。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?abc 猜想

實際上,數學中有個分支叫做數論(Number theory),主要研究整數的性質。數論分為初等數論(即用初等方法研究的數論,主要包括整除理論、同餘理論、連分數理論)和高等數論(包括了更為深刻的數學研究工具,大致包括代數數論、解析數論、計算數論等)。

在數論中,最古老的分支之一便是丟番圖方程(Diophantine Equation),得名於古希臘亞歷山大後期的重要學者和數學家、代數學鼻祖丟番圖(Diophantus)。

所謂丟番圖方程,即是有一個或幾個變量的整系數方程,又名不定方程、整系數多項式方程。實際上,我國古代約 5-6 世紀成書的《張邱建算經》中,有一道「百雞問題」(如下圖),涉及了如今我們所謂的三元不定方程組,其實這也就是一種丟番圖方程。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

而本文的主角——abc 猜想就曾被美國哥倫比亞大學數學家 Dorian Goldfeld 認為是「丟番圖分析中最重要的未解問題」(the most important unsolved problem in Diophantine analysis)。

另外,abc 猜想與著名的費馬大定律之間也有密切的關系。可以說,如果 abc 猜想被證明為真,那麼費馬大定律也能得到證明。

據了解,abc 猜想(Oesterlé–Masser 猜想)於 1985 年由法國數學家 Joseph Oesterlé 及 David Masser 提出。

那麼,如此重要的數學猜想,具體是怎樣的呢?

若 a,b 和 c 是滿足 a+b=c 的互素正整數,通常有 c

嚴格來講,abc 猜想如下圖。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

難題只能交給天才嗎?

相信大家看到上述猜想肯定一頭霧水,但實際上,幾十年來許多數學家也都花費了大量的精力試圖證明這一猜想,至今還沒有被行業廣泛認可的一套方法論。

2007 年,在數論、算術代數幾何和交換代數領域有過重要貢獻的知名法國數學家 Lucien Szpiro 首次宣布對 abc 猜想的證明,但很快就被證明有誤。

實際上,隨着計算機科學的發展,人們也把數學家都難以解決的這一難題交給計算機來完成——荷蘭萊頓大學數學研究所(Mathematical Institute of Leiden University)運作了一個名為 [email protected] 的基於 BOINC 分布式算力平台的數學類項目,旨在通過搜索滿足 abc 猜想條件的三元數組,獲得其分布,從而幫助數學家證明這一猜想。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

就在這一猜想的印證之路陷入瓶頸之際,2012 年,日本數學家望月新一連發 4 篇預印本論文,總篇幅超過 600 頁。望月新一表示,他解決了 abc 猜想。

出生於日本的望月新一 5 歲隨父母前往紐約生活,16 歲就進入普林斯頓大學求學,19 歲進入研究生院,師從著名德國數學家、1986 年菲爾茨獎得主 Gerd Faltings,23 歲便獲得博士學位,33 歲成為京都大學教授,曾在「遠阿貝爾幾何」領域中作出過超卓貢獻。

此外,2013 年 5 月 20 日,計算機科學家、HTTP 之父 Ted Nelson 爆料化名中本聰(Satoshi Nakamoto)的比特幣創始人其實正是望月新一,但這一說法尚未得到證實。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

數學界神仙打架

望月新一的證明方法可以說是另闢蹊徑,他建立了一套全新的數學方法,使用了一些全新的數學「對象」——相關抽象概念只有極少的數學家能夠完全理解。

據了解,望月新一就 abc 猜想問題獨自思考了 20 年,最終得到的成果被他本人稱為「宇宙際 Teichmüller 理論」,其中包括各種神秘術語,可以說是前所未有——比如第一篇論文中提到的「霍奇影院」(Hodge Theater)的構造、第二篇論文中引入的「外星算數全純結構」(alien arithmetic holomorphic structures)。

這一足夠使得數學界大地震的研究卻遭受了「冷遇」,原因很簡單——很長一段時間內,能讀懂這篇論文的數學家寥寥無幾。

600 多頁「天書」即將正式發表 最富傳奇色彩的難題被天才數學家解決了?

美國威斯康星大學麥迪遜分校的數論學家 Jordan Ellenberg 曾作出評價:

讀他的論文就像是在讀來自未來或外太空的論文。

對眾多數學家來說,這 600 多頁「天書」難以讀懂,而更重要的是,望月新一本人自 1988 年柏林數學家大會之後便從學術界「消失」,潛心研究 abc 猜想。預印本論文發表後也是一直拒絕參加國際學術會議或各種演講邀請,這也在某種程度上使得其論文發表的常規同行評審過程幾乎陷入停滯。

華裔數學家、菲爾茨獎得主、第二屆「丘成桐中學數學獎」評審總決賽面試主考官陶哲軒(Terence Chi-Shen Tao)最初便委婉表示過對該研究成果的質疑,但也強調了自己並非這一領域的專家,無法給出很好的見解。

直到 2018 年,德國波恩大學數學家、菲爾茨獎得主 Peter Scholze 和德國法蘭克福大學數學家 Jacob Stix 終於對望月新一的研究成果提出了明確的質疑——二人發表報告,指出第三篇論文中的推論 3.12 的證明過程從根本上來說是有缺陷的。

值得一提的是,第三篇論文中的推論 3.12 是證明 abc 猜想的關鍵部分。作為數論領域的權威,Peter Scholze 曾公開表示:

我認為 abc 猜想的證明依舊懸而未決,任何人都有機會證明這個猜想。

此外,Peter Scholze 也曾前往日本訪問望月新一,就論文進行探討,但二人並未達成一致。

不過,不論結果如何,此次望月新一的論文被接收,也說明 abc 猜想的證明終於進入了全新的階段。接下來,該證明還將接受更多的同行評審。

實際上,科學發展的過程,就是一個個理論不斷被推翻的過程。畢竟,經過不斷討論、交流甚至是質疑的學術觀點,才會更加接近科學真相。

引用來源:

[1] https://www.scientificamerican.com/article/mathematical-proof-that-rocked-number-theory-will-be-published/

[2] https://www.nature.com/articles/d41586-020-00998-2

[3] https://www.zhihu.com/question/384820828

[4] https://baike.baidu.com/item/abc%E7%8C%9C%E6%83%B3/9956481?fr=aladdin

[5] http://www.equn.com/wiki/[email protected]

來源:cnBeta