這個由女性數學家創建的理論 重塑了物理學今天的面貌

1882年,艾米·諾特出生於巴伐利亞一個富裕的猶太家庭。她的父親馬克斯·諾特(Max Noether)是一位以研究代數幾何而聞名的數學教授,但艾米最初感興趣的是語言學。在獲得英語和法語教師資格後,她才開始學大學水平的數學,盡管當時德國大學不允許女性讀大學。

這一規定在1904年被修改,1907年,諾特獲得她的博士學位。她的論文研究的是抽象代數,特別是不變量理論——函數或函數組在函數變換時保持不變的性質——正是在這一領域,她迅速建立了自己的聲譽。1909年,她受邀加入德國數學學會。

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1910年以前的諾特

1915年,數學家大衛·希爾伯特和菲利克斯·克萊因帶着一個問題找到諾特。愛因斯坦已經在那年的早些時候發表了廣義相對論的場方程,但它理論上似乎有一個令人擔憂的漏洞。在某些情況下,物理學中最基本的原則——能量守恆被破壞了。

1915年,希爾伯特和克萊因找到作為不變量專家的諾特。如果有人能找到填補理論漏洞的方法,那隻能是她了。事實證明,他們的選擇是對的。諾特的方案成為理論物理中最優雅最有力的結果之一。

諾特定理——守恆對稱

諾特的理論可以表述為:

如果一個系統的拉格朗日量具有某種連續對稱性,那麼那麼系統一定存在一個與之相關的守恆量,反之亦然。

讓我們來解讀一下這個表述。

首先,守恆量是系統中不隨時間改變的某種性質。例如,如果我輕擊一個高爾夫球,那麼球的質量在我擊球和它(希望)進洞之間的時間內不會改變。因此,球的質量是系統的守恆量。

相反,球的速度會隨着時間而變化,無論是通過與草的摩擦還是與地面碰撞都會影響到速度。在這種情況下,球的速度不是守恆量。

接下來是連續對稱的概念。回想一下在小學時,我們可以說一個正方形在旋轉90度時具有旋轉對稱性。這意味着,當我們將一個正方形旋轉90度時,最終的狀態看起來就像我們什麼都沒做一樣。然而,這個結論僅僅對某些特定的角度成立。如果我們改為旋轉45°,最終狀態將與原始方向明顯不同。所以,我們說正方形有離散的旋轉對稱性

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正方形的旋轉對稱性

現在想象在一個圓上進行同樣的操作。然而,這一次不管我們把圓旋轉什麼角度,圓看起來總是完全一樣的,即使那個角度是非常非常小。這意味着圓具有連續的旋轉對稱性。

最後,什麼是系統的拉格朗日量?要講解拉格朗日量,我們必須首先理解物理學中的另一個基本概念:最小作用量原理。

實際上,這表明宇宙是「懶惰」的。物理系統的運行方式使得系統從一種狀態到另一種狀態的演化所需的「努力」最小化。我們將這種「努力」稱作系統的作用量。

例如,在我擊球後,一般來講,物理系統從「我腳下的球」發展到「洞內的球」。沒有什麼能阻止球從我的腳下經過一段遙遠的路徑到達距離球洞的10英尺遠處,除非系統「在這條路徑上的作用量」遠遠大於「球按照我們所期望的軌跡運動時的作用量」。後一條路徑,即球真實走過的軌跡,是作用量最小化對應的軌跡。這正是最小作用量原理所起的作用。

這和拉格朗日量有什麼關系?拉格朗日量通過讓整個過程中的作用量最小來描述系統的能量在一個過程中應該如何變化。通過在一組稱為運動方程的微分方程中考察它在空間和時間上的行為,我們可以確定系統是如何根據最小作用量原理從一種狀態發展到另一種狀態的。

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即將進洞的高爾夫球。球運動的路徑即使得系統作用量最小的路徑,可以從拉格朗日量得到這一路徑。

回到諾特定理。拉格朗日量具有連續對稱性意味着什麼?如果當系統沿着某個坐標連續變換時,它的拉格朗日量不變,那麼這個系統被認為關於那個坐標是連續對稱的

所以,考慮一個經典的物理考試問題:兩個相同的球在x軸上的碰撞。假設沒有摩擦或空氣阻力,可以很容易地表明,系統的動力學只取決於球的位置和速度之間的相對值,而不是它們的絕對值。

如果我們在x方向上同時將兩個球平移任意相同距離,那麼兩個球在位置和速度上的差異是不變的。因此,系統必須以與之前相同的方式運動,就好像它根本沒有被移動過一樣。由於這種行為是通過拉格朗日量進行編碼的,這意味着它也不能通過x方向的平移來改變。所以系統的拉格朗日量必須在x方向上具有連續對稱性!

諾特告訴我們,這種對稱性意味着存在一個守恆量,在這種平移對稱的情況中,守恆量是動量。這就是動量守恆定律的起源!我們用來處理與這種假設相關的問題時所用到的工具,就是描述系統的拉格朗日量存在對稱性的結果。

類似地,如果系統的拉格朗日量是旋轉對稱的,將系統旋轉任意角度後拉格朗日量不變,那麼角動量在系統中是守恆的。描述行星引力的拉格朗日方程是旋轉對稱的,所以角動量在行星的軌道上是守恆的。由於某種對稱性,電荷也會是守恆的,這一次是涉及的是波函數的規范對稱性這種更深奧的概念,它的細節需要參考相應的專業文章。

「修補」 廣義相對論

這些想法實在太棒了,但是它如何幫我們解決廣義相對論中的問題呢?

回想一下,希爾伯特和克萊因已經意識到,在某些情況下,廣義相對論中能量不守恆我們知道,能量通常是守恆的,所以根據諾特定理,能量守恆要與某種對稱性相關——事實確實如此,那便是時間平移對稱性。如果一個系統在時間平移下是對稱的——如果系統的拉格朗日量不顯式依賴於時間——那麼系統一定是能量守恆的。

諾特意識到,這就是答案。

廣義相對論中的時間不像牛頓力學中那樣是一個絕對量,它隨着時空的彎曲而流動、扭曲。時間平移對稱性只在某些特殊情況下適用於廣義相對論,即在時空平坦或幾乎平坦時才行,所以,對於時空彎曲的情形,能量不需要守恆!

因此,通過結合她在抽象代數方面的專業知識和令人不可思議的分析思維,諾特不僅填補了20世紀最重要理論之一的漏洞,還揭示了理論物理學中一個真正的基本概念。她的定理奠定了我們每天在教室和世界上遇到的大量物理現象的基礎。

對其他領域的啟示

諾特定理的威力遠不止於此。

即使是在粒子物理學中,諾特定理依然適用。威爾切克說:「我們不得不依靠理論上的洞察力以及關於美、美學和對稱性的概念來猜測事物的運作方式。」諾特定理在這方面就很有幫助。

在粒子物理學中,關繫到的對稱是被稱為規范對稱的一種比較隱秘的對稱性。電磁學中就有這樣的對稱性,它導致電荷守恆。規范對稱出現在電壓的定義中。例如,電池兩端之間的電壓是電位差的結果。電勢本身的實際值並不重要,重要的是差值。

這就產生了電勢的對稱性:它的整體值可以在不影響電壓的情況下改變。這個特性解釋了為什麼一隻鳥可以坐在一根電線上而不會觸電,但是如果它同時接觸兩根處於不同電位的電線時,安息吧,小鳥。

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小鳥站在電線上

在20世紀60年代和70年代,物理學家擴展了這一想法,發現了與守恆定律相關的其他隱藏對稱性,從而發展了粒子物理的標准模型。

威爾切克說:「這是一種概念上的聯系——一旦你意識到這一點——就像你有一把錘子,然後你就可以去找釘子來使用它。」物理學家在發現守恆定律的任何地方都尋找對稱性,反之亦然。依靠對稱性建立的標准模型解釋了基本粒子的行為和它們之間的相互作用——威爾切克就因其在發展標准模型中的貢獻獲得了2004年諾貝爾獎。就其精確預測實驗結果的能力而言,現在許多物理學家認為它是有史以來最成功的科學理論之一。

然而,在很大程度上,沒有人知道諾特這個人。這是一個被愛因斯坦描述為「自女性接受高等教育以來出現的最重要、最有創造力的數學天才。」

盡管如此,她從未擔任過永久教師。希爾伯特被迫在哥廷根用自己的名字宣傳她的講座課程,這就是當時大學等級制度中對女性學者的排斥。隨着1933年納粹勢力的崛起,她搬到了美國。在1935年因癌症突然去世之前,她本應和愛因斯坦一起在普林斯頓大學開始工作。

來源:cnBeta