曹則賢開講:什麼是相對論?| 「新年悟理」2021跨年科學演講

2020 最後一天了!

昨晚 7 點,我們搞了件大事!

曹則賢開講:什麼是相對論?| 「新年悟理」2021跨年科學演講

由中國科學院科學傳播局、中國科學院物理研究所與長三角物理研究中心(中國溧陽)聯合主辦,中國科學報社、中國科學院大學協辦的2021「新年悟理」跨年科學演講在北京舉行,中科院物理所曹則賢研究員現場開講《什麼是相對論》,北京廣播電視台著名節目主持人春妮受邀擔任現場主持。

出於疫情防控考慮,本次跨年演講嚴格控制現場觀眾數量,以線上直播為主的形式開展,共有數百萬人次通過直播方式收看了這次演講。同步直播的媒體包括:

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我們用這種硬核又不失有趣的方式告別特殊的2020年,迎接一個更美好的2021!

昨晚直播結束很多小夥伴表示很喜歡這次「新年悟理」2021跨年科學演講的內容,所以課代表連夜給大家整理了全文,錯過昨晚直播的小夥伴們今天可千萬不要再錯過了,點擊下方卡片即可觀看跨年演講全部內容(視頻後還附有文字稿哦)。

本稿由小編整理自現場演講。

尊敬的各位來賓,遠方螢幕前各位親愛的朋友們大家晚上好,這里是中國科學院物理研究所,我是物理所的職工曹則賢,感謝大家參加今年的跨年演講。

今年是非常艱難的一年,但是我們國家還是欣欣向榮,在這樣一片祥和的氣氛中迎接新年。有這樣不幸中的萬幸,我覺得除了因為我們有堅強的領導和偉大而又自律的人民,還因為我們的國家熱愛科學、相信科學、崇尚科學,並且以極大的熱情擁抱科技的進步。

人類社會經歷過三次工業革命,每一次工業革命都是源自物理學的革命性進展,並帶來物理學的革命進展。中國錯過了三次工業革命,但是我們現在已經初步完成了工業化進程,並且率先呼應工業 4.0 時代的到來。在 2020 年

  • 我們北斗系統全面建成,並且已經能夠向全世界免費提供服務;

  • 我們的奮鬥者號,深潛器下潛深度是 10909 米;

  • 我們的嫦娥五號,從月球帶回來了 1731 克的月壤樣品。

這一切都是了不起的技術進步,都是讓我們為之非常自豪的進步。中華民族是一個偉大勇敢的民族,她也一直是一個追求智慧的民族。我們不僅要為這個世界提供產品和技術,我們還要有能力為技術提供科學、為科學提供思想、為思想提供能夠深入思考的大腦。而這一切,都要求我們早日把我們的國家建設成一個具有深厚科學素養的國家。

我們都有受教育的權利,我們還有受最深刻教育的願望,有掌握最頂尖科學知識的願望。21世紀是技術超越了神話的時代,我個人覺得物理學應該成為我們每一個人的知識標配

談到物理學,大家可能都知道物理學有兩座高山,就是我們稱之為近代物理兩大支柱的學問,一個是量子力學,一個是相對論。去年此刻也是在這兒,我們一起領略了量子力學的神奇和費解,今天我邀請大家一起,以輕鬆愉快的心情來領略一下相對論的厚重與深邃。

#「一切都是相對的」

提起相對論,大家可能都會想到這樣的場景——孿生子佯謬、還有《星際穿越》和《回到未來》這樣的電影,以及「一切都是相對的」這樣的哲學夢囈。這樣的知識其實不足以構成我們對相對論的理解。所以在 1923 年,有一位 21 歲的英國青年叫狄拉克,就對課堂上教相對論只會教「一切都是相對的」這麼一句空話感到非常惱火。他決定自己開始學習和研究相對論,當然同時也伴隨著研究量子力學。到了 1926 年,三年以後的他已經為量子力學的創立做出了偉大的貢獻。而 5 年以後,僅僅到了 1928 年他就寫出了這樣一個方程,

這個方程就是相對論性量子力學方程,現在我們管它叫狄拉克方程。

這個方程後來寫到了狄拉克的墓碑上,也是我們人類物理學史上濃重的一筆。狄拉克方程可以用存在反粒子予以詮釋 (不是顯然地預言反粒子的存在!)。這個方程提出以後的 4 年,1932 年,正電子就在宇宙射線和原子和相互作用的過程中被發現了。

狄拉克的這個例子給我們什麼啟示呢?我個人覺得就是面對學問懷有敬畏心才是正確的打開方式,要學你就當真學,要學你就學個底兒掉

我在跨年科學演講上講量子力學和相對論,很多同事跟我說,要努力地把它講得淺顯易懂。我說不對,我不做這個事情,我想做的事情就是要告訴大家,就我能夠讀到的內容,量子力學到底是什麼樣子的,相對論到底是什麼樣子的。我覺得我們應該作為一個老師,作為一個夠歲數的長輩,我們有義務給年輕人,給民眾講清楚量子力學和相對論——當然還包括經典力學,電動力學,規範場論等等這樣一些學問,到底是什麼樣子的。這是我們的義務,也是我們科學院對社會的一份責任。

所以說本次講座我講的內容可能是走馬觀花,但這套 PPT 儘可能包含了多而全面的內容,也包含那些經典的文獻,希望一些年輕的老師,讀大學的,讀研究生的朋友們,未來拿到這份 PPT 的時候,大家能夠認真學習一下。

#相對論是什麼樣的學問?

相對論到底是什麼學問?歷史上能和它媲美的有兩個其他學問,一個是熱力學,還有一個是規範場論,這三門學問都是從原理出發,一點點構造的學問。相對性原理是相對論的核心,是我們構造物理理論必須滿足的要求(postulate)。我們在漢語里把它翻譯成公理,這是錯誤的,實際上它是要求,你構造的原理就要滿足它的要求。相對論的發展是一個長達 300 年的過程,在 1915
年底過新年的時候,在愛因斯坦得出引力場方程的時候達到了頂峰。它是物理現實的內在和諧與數學表達的形式美學之間的相互激勵的結果。這里有一個關鍵詞——變換不變性,這是相對論的核心思想。接下來我們就一起看看相對論從當初最樸素的思想,經過狹義相對論、廣義相對論這樣一條思想河流上,到底有著多麼迷人的畫卷。

物理學主角就三個東西,時間、空間、物質,當然最後都是落到物質上。物質本身的存在讓我們有位置或者有空間的感覺,而位置的變化就是運動,讓我們有時間的感覺。如何理解時間、空間以及物質之間的關係,就構成了我們物理學這樣一個主要的基石。大家知道時間和空間是靠光(速)聯繫的。對於物質來說,

  • 物質有一個叫做電荷的標籤,也是順著那個方向,人們發展出了電磁學、電動力學和光學;

  • 物質還有另外一個標籤是質量,順著質量就有一個引力的問題。

  • 當然還有其他的一些標籤,像同位旋等等,就會引起規範場論的出現,這里不細講了。

關於物理學到底學到什麼地方算深邃了呢?我臨時抱佛腳,引用楊振寧先生的一句話。

20 世紀物理學真正的輝煌之處在於對一些重要的基本概念,包括時間、空間、運動、能量以及力的深入理解。

這是楊先生的觀點。由此我們可以看出世界上那些最偉大的物理學家,他的學問一定體現在對時間和空間概念上的理解。

我舉幾個例子,在業餘時間里參與了量子力學和相對論的創造,並且自己創造了規範場論的這樣一個大數學家赫爾曼·外爾(Hermann Weyl),他的《空間、時間和物質》(Raum-Zeit-Materie)這本書,就是一遍一遍地重印,一遍一遍影響著頂級的物理學家。

埃爾溫·薛丁格(Erwin Schrödinger),就是那位「著名的養貓專業戶」,他著有《時空結構》(Space-time structure)。而今年獲得諾貝爾獎著名數學家羅傑·彭羅斯(Roger Penrose),他的這本書《旋量與時空》(Spinors and
Space-time),也是非常著名的一本著作。學到去理解時間和空間的關係是一個物理學家要達到的基本高度。

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談論時間和空間,我們是怎麼認為的?我們認為世界是三維的,還有一維的時間。這是一般物理學教科書的寫法,等到進入狹義相對論的時候,我們會把這個 前面再加上光速 ,因為 和空間是同一個量綱了,這是狹義相對論時間和空間縫到一起了,這就叫時空。正確的描述還需要在這個地方應該加一個虛數,也就是
——空間加上時間構成的一個數,有四個單元的數,就叫雙四元數。一般相對論的書里那些概念為什麼攪纏不清呢?就是用的數學不對,或者用的數學不足以反映時空的關係。所以要想真正學會相對論,要多學一些代數和幾何的知識。

時空有哪些特徵?首先要知道有度規,也就是空間里面距離是怎麼量的。另外知道空間的近鄰關係,才知道里面怎麼輸運、怎麼做微分

相對論的內容我們就有這麼幾個部分,我們先聊聊

  • 樸素相對論(Primitive relativity)

  • 伽利略相對論(Galilean relativity)

  • 狹義相對論(Special relativity,也稱 restricted relativity)

  • 非常狹義相對論(Very special relativity)

  • 廣義相對論(General relativity, 也稱 generalized relativity)

一般書里能提到的相對論就是狹義相對論和廣義相對論的一丁點皮毛,包括後續相對論的發展,還有整體相對論,我還會再聊幾句都是非常崇敬的愛因斯坦的軼事和其他成就。

#樸素相對論

談談樸素相對論,樸素相對論說的是什麼呢?大家看一個景象,這是我們大家都非常熟悉的景象,晴天的時候月亮會從東邊緩緩升起。可是在人類幾千年的文明史里,沒有哪部文學作品會給你描述地球如何升起的景象,直到有一天我們的人類自己能夠進入太空的時候才想到這樣的景象,地球出來了,這個藍色的球非常漂亮,這說明什麼?這說明這個景象始終是從我們腳底下能看到的景象,我們從來沒想到如果把我們的觀點(point
of view),也就是你看問題的出發點挪到別的地方的時候,你是可以看到其他景象的,但是我們沒有這種自覺。
所以養成換個觀點去看世界的習慣很難,這也是為什麼大家經常吵架的原因,我們總是從自己的觀點看問題,而不是從別人的觀點看問題,雖然很難,但如果養成了這種習慣其實非常有用。

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人類文明史上,公元 1600 年前後就有一個德國哲學家,開普勒養成了這樣的習慣。開普勒年輕的時候遇到了什麼事情呢?就是要研究這麼一個問題,這是火星的觀測數據:

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有八個退行點的一團亂麻,拿到這樣的觀測數據以後接下來的任務就是要寫出它的方程,可是這一團亂麻怎麼寫出它的方程呢?寫不出來。

有一天開普勒想到我們有一套從地球上看到太陽的數據,如果我把火星的數據減去這樣一套數據,那不就是相當於從太陽上面看火星的軌道了嗎?這麼做了以後,他發現火星軌道差不多和學校操場跑道一樣,是閉合凸的曲線,凸是比較重要的事情,這樣的曲線就比這團亂麻好研究多了,自然而然你會看到原來行星的軌道是繞著太陽這樣「火爐子」的簡單閉合曲線

我們從地球上看到的火星的運動規律和現在得到的相當於從太陽上看到的火星規律應該是一樣的。因為什麼呢?因為僅僅是換一個觀點,你就看到了不同的世界,你大概不會相信因此世界的規律就變了。所以說,我們換個觀點看到那個世界也會讓我們得到同樣的關於這個世界的規律。

在這個基礎上,開普勒就總結出了所謂關於行星運動的三定律。可能大家都記得,

  • 第一個定律是說(太陽系的)恆星的軌道是繞太陽這個爐子(Focus, 爐子!)的橢圓;

  • 第二個是說單位時間內行星與太陽的連線掃過的面積相等;

  • 第三個是軌道週期平方與軌道半長軸立方為一個只依賴於太陽的常數。

但是對這樣的問題,我們的大學教科書里不能停留在 400 年前簡單的描述上。開普勒定理,從應用技術上來說有 bug,所以我們發射繞月軌道的時候要比簡單的橢圓複雜得多。開普勒三定理有非常深刻的內容,玻爾理解原子光譜分離能級形成的工作也是看的開普勒三定理,這比我們今天大學課本里理解的深刻得多——開普勒三定理是量子力學的入口。

開普勒由此總結出了行星繞太陽運動的軌道,這就是窺透了上帝的秘密,開普勒全集里有這麼一句說,

我誠實地承認這項成就讓我感覺我勝過你們人類!

這比高考的時候考個全省第一感覺好多了。

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開普勒的事例就是樸素相對論的一大成就,如果我們用數學表達是什麼意思呢?就是假設這個世界滿足的規律是這樣一個方程 ,有位置 ,有時間 ,還有我不知道是什麼的東西 。如果規律是這樣的話,你把空間挪一下,時間簡單挪一下,這個方程還應該成立,。

有一句話說,許多科學都存在在古老的智慧里,我信。比如這樣的狹義相對論,可能就存在北京西山大覺寺的一個匾額里,這個匾額是什麼?是這樣四個字「無去來處」,相對的參考點不重要,這是非常非常有趣的智慧

我覺得讀會了樸素相對論,大家回過頭來再去讀陶淵明的《桃花源記》就明白了,你邊走邊做一個記號,但所有記號都是對稱的話,你發現它一點用都沒有,因為它滿足對稱性。這是非常有趣的案例。

#伽利略相對論

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我們講完了樸素相對論,就進入了伽利略相對論。伽利略是義大利人,被稱為近代物理之父,也是近代科學之父。你看他給我們創造了多少東西——比如說單擺的週期公式、落體的公式、傳說中的比薩斜塔實驗和所謂的慣性質量等於引力質量。但是關於慣性這個概念,大家看一看伽利略是怎麼得到的。

伽利略說將一個小球從一面斜坡滾下來,會在對面斜坡上差不多達到相同的高度。如果把對面斜坡坡度變小一點,要到相同高度,順著坡走的路會更長。這個可以理解,這叫觀察。

但是觀察需要要上升到抽象和理性思維,也就是這樣一個極端的情形——假設對面的斜坡坡度等於零,是平的。如果剛才小球運動的的趨勢、規律還是對的話,這個小球滾下來以後要努力想回到剛才的高度,但是這個斜坡不管怎麼往前滾又沒有高度,請問它能怎麼辦?最終的結果就是這個小球只能以原來的速度,順著原來的方向一直滾下去,這就是對於慣性的理解。後來被納入了牛頓三定律的第一定律,這是伽利略做到的。

伽利略在 1632 年《關於兩個主要世界體系的對話》這本書里,給我們描述了這樣一個情景:假設你坐在一個大船里面,你還帶上了蝴蝶、蒼蠅、魚缸里還養著魚,船艙還漏水。你發現蝴蝶飛和地面上飛是一樣的,魚缸里魚的遊動和家里的也一樣,頂上的滴水也是直直滴到下面的,你從這些現象的觀察里面是判斷不出這個船的運動是不是勻速運動的。

在我們老祖宗的文獻里,對這個現象也有精確的描述。東漢時期《尚書緯•考靈曜》里面有一句話,

地恆動不止而人不知,譬如人在大舟中,閉牖而坐,舟行而不覺也。

再比如說像王充的《論衡》,這就是每個物理學大學生要學的基礎課,什麼叫測量。很多同學都沒學過測量,就來做物理類實驗研究生了,我們老祖宗這方面的學問很多,非常遺憾的是沒能形成一個科學的體系。

伽利略的相對論想說什麼意思呢?可以用位置 、時間 和「不知道是什麼」的參數 描述世界的規律,

而把位置加上常數乘上時間的話,這個方程還成立,

這個就是伽利略相對論。

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和剛才樸素相對論一樣也體現在一句古老的智慧里,還是在我們西山大覺寺有一塊匾額,這四個字叫「動靜等觀」。不管你是靜止的還是運動起來,從規律的角度來說,你應該看到的是同一個世界,非常酷的四個字。

現在我們有了伽利略的相對論,讓我們回頭看一看我們已經學的學問,比如說經典力學和電磁學,看看滿足不滿足伽利略相對論。我們看牛頓第一定律,說任何不受外力影響的物體保持靜止或勻速運動,這個詞是 inertia,原意是懶。我想告訴大家慣性質量,質量慣性是一個詞。牛頓第二定律說,置於外力下的物體,加速度正比於合力,比例係數為質量

牛頓第三定律說,作用總伴隨著反作用。大家如果看法國一個電影《放牛班的春天》,你會發現那里老師懲罰孩子的時候就會說「作用」「反作用」,沒有「力」這個事情。這個本意是說這個世界上存在著相互作用,但是後來我們發現這個道理竟然也是不對的。海森堡用一個交換作用的概念把相互作用又上了一個層次,這個我們以後再講。

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牛頓力學是不是滿足伽利略相對論呢?加速度等於力,加速度是位置對距離的二階微分,

把距離或者位置加上一個常數乘時間的話,兩次微分根本不變,加速度這一側是沒有問題的。是否滿足伽利略相對論就看力的形式,力到底是什麼形式呢?就要看具體的情況。如果是相互作用的話,會寫成兩個距離之差 ,這樣就一定滿足伽利略相對論。

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我們用這個眼光看牛頓引力的話,牛頓引力是兩個質量體之間的相互作用,萬有引力下的運動方程如上圖所示。這樣的運動方程就滿足伽利略相對論,所以說牛頓力學為什麼沒有更高級的相對論呢?因為伽利略相對論就挺好使

如果我們用伽利略相對論去考察我們的電磁學的話,你會發現有問題了。為什麼呢?因為在電磁學里,一個電荷受到的力叫洛倫茲力,運動方程為:

這個地方明顯出現了速度這樣的變量。伽利略相對論相當於速度有個平移 ,改變了常數,你把速度這一項改變了以後,運動方程左邊是不變的,代到右邊這一項就變了,所以伽利略相對論是不適用電磁學的,或者電磁學是不適用於伽利略相對論的

一個理論如果不適用於某個對稱性的話,說明什麼?說明可能正確的對稱性你還沒找著,所以你別著急。

時間-空間變換與物理學

事情往下,這個時候我們就可以總結一下關於時空的學問了。大家感覺一下,到這個時候那些大物理學家就能夠感覺到事情很難了,為什麼呢?你會注意到伽利略相對論里,時間和空間的變換是十個參數的數學問題,大家看時間是一個,位置是三維空間的三個參數,速度是三個,轉動本身還是三參數的,所以時間-空間變換

是十個參數的東西。

如果你把時間和空間縫到一起,就是我們常說的四維空間。四維空間平移是四個變量,轉動是六個自由度,六加四還是十個參數。也就是說要想玩這一套東西,你要習慣於,或者玩一個十參數的參數空間,這就是為什麼我們在一些宇宙學或者天體物理會讀到十參數這樣「比較嚇人」的概念。這其實是說簡單的事實。大家知道球面在平面鋪開是鋪不開的,必須在三維空間才能鋪成直的,所以我們打籃球、打排球,球面只能在三維空間存在著。

如果你認定有一個四維彎曲空間的話,在幾維空間里才能被鋪展開是直的?那就是十維,往下事情就有點難了。物理學我們一直在研究變化,但是物理學研究變化的過程中追求的反而是不變,是對稱,是等價這樣一些概念,這個詞請大家一定記住,等價這個詞是貫穿整個物理學,包括歐洲哲學和政治經濟學的觀念。你讀熱力學、讀馬克思主義理論其實是同樣一個詞,等價,大家一定要記住這個詞
Equivalence。既然是談論對稱、等價,我們知道群論才是物理學的正確語言。

群論這個概念的引入是 1832 年一個法國小男孩 Galois 引入的,這位老兄十七八歲的時候就做了很多關於群論的東西,二十歲的時候給我們創立了一個叫群論的物理學的語言,所以說我每讀到這個時候就特別想,我們有什麼理由學不會?人家創造的時候才十六七歲

我有一天認識到群論里面,群的定義有一個非常重要的定義,就是群元素有逆。我突然意識到逆的存在是保證了相對性,這也就是為什麼群論是相對論語言重要的一點。

我給大家舉兩個例子,比如說大家都比較熟悉的正多面體,你可以把它看成是球形液滴的不斷變形,但是有一個東西是不變的,就是它的頂點數減去邊數,加上面數始終等於二,

其中 是頂點數, 是邊數, 是面數,你們自己數一數。這個公式就是歐拉定理。

或者舉另外一個例子,這是標準平面空間圓的方程

如果把坐標轉動一下,

得出新的坐標還是一個圓的方程

所以說一個圓我們轉動的時候,物理上不變,這個就是數學上它的不變。你注意,我們談論怎麼變,怎麼變化,怎麼變動,但是實際上我們始終在追求理解那個不變。這個理論我剛才舉的兩個例子都是特別簡單的例子,大家一定要學會看到例子的時候要追中間的實質,糖炒栗子吃的是里面的東西。

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實質要上升到方程的層面,方程都是不變的。哈密頓方程如圖所示,如果你對里面位置和動量做一個變換的話,哈密頓要求你變換出來的方程和原來的方程必須給我長得一模一樣,大家記住沒有?是坐標變換以後你得到的方程要和原來的方程長得一模一樣,這樣的變換才叫正則變換,而這個方程因此才成為了正則方程,這是我們整個學經典力學里面最核心的地方。

學會這個方程,再往下一步學哈密頓方程,你再進入統計力學和量子力學就簡單了。為什麼我們學統計力學和學量子力學的時候覺得那麼難?那是因為經典力學你根本就沒學。

這樣一個關於變換和不變性的理論,到了1918年就達到了高峰,有一位叫艾米·諾特(Emmy Noether)的女士在這一年發表了這篇著名的叫 「不變的變分原理」 這樣的文章,把對稱性和守恆性連接起來,才有了真正意義上的理論物理,做這個工作的時候,這位女士才36歲,最重要的是艾米·諾特女士是一個文科畢業生。

很多人說變換不變性你說了半天我也沒理解,其實特別好理解,就是我們世界上有一個叫做婚禮誓詞的東西,那是對變換不變性的最好的詮釋。大家回憶一下婚禮誓詞是什麼,它的內涵是

天可以變,地可以變,我可以變,但是你得對我好這一條不許變。

這就是變換不變性。懂得這句話,物理學你就學會一半了。

有了這樣一些心理準備,我們現在就可以談學問了,進入平常大家所說的相對論,狹義相對論。

#狹義相對論

狹義相對論開始於什麼呢?開始於麥克斯韋方程組,

根據電磁學感應定理原本最後一個方程是左邊一項右邊一項,麥克斯韋加上了加號右邊的這一項,非常偉大。加上這一項的偉大意義,楊振寧先生以九十多歲的高齡去國家天文台去年的講話,大家可以去找頂級科學家怎麼談論這一塊的,很多老師竟然對加上這個東西覺得無所謂,一筆帶過,這個實際上是改變我們世界的東西。

引入 洛倫茲規範

方程變成了弦振動方程的模樣

寫成這樣的方程,世界就改變了,因為這個方程是人們已經熟悉的琴弦的振動方程。琴弦振動的時候會向空氣里面傳出聲波,那麼我的電磁現象能夠寫成這樣的方程,難道世界上電磁還有波?

麥克斯韋說:

應該有電磁波

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1887年,赫茲用這樣一套交變電路演示了(可能)電磁波,這套裝置就是電報的原型機。

一個德國人說我來搞定,於是在 1887 年赫茲就用上圖所示這樣一個裝置打出火花,用簡單的金屬線栓著兩個金屬球之間的縫隙也看到了火花,這被當做存在電磁波證據的實驗,其實它僅僅是能說你這個地方的東西能夠飛到遠處,後來這個實驗裝置本身產生出了著名的東西,叫電報

但是赫茲做出這樣裝置的時候,他自己都沒認識到其意義。當他的助手問他,你做這樣一個實驗的意義是什麼?赫茲說,能夠證明麥克斯韋非常偉大。助手說,那還有沒有什麼用?赫茲說,這個真沒用。但是這個消息傳出去以後,有一個 15
歲的義大利小男孩,正好就在德國和義大利中間的阿爾卑斯山上度假,他聽說有一個火花在這個地方打出來,在另外的地方也閃現了,他覺得可以發出信息,這個小男孩就是電報的發明人馬可尼所以我們做實驗的時候,任何結果都是結果,千萬別隨便扔。

既然有電磁波,你去計算一下電磁波的速度,發現和當時測到的光速速度差不多,所以讓人懷疑光難道也是電磁波。如果光也是電磁波的話,這個速度就成問題了,因為這個地方的速度是從這兩個常數 和 算過來的,老師做題的時候都會說水相對於河岸的速度是多少,船相對於河岸的速度是多少,當我們談論速度的時候,始終都會說相對於什麼,速度是多少。但是我這地方的速度是從兩個常數算過來的,沒有參照系的事。

回顧一下從麥克斯韋方程組得出麥克斯韋波動方程,到出現電磁波驗證的問題,我個人是非常感慨的。電磁波方程的推導,是嚴謹的推導;而電磁波的演示,是坦誠的驗證,而且驗證的這個人一句大話都不往外說,這一點相比如今很多實驗是「心里有鬼才畫鬼」的實驗,這樣的人和這樣的事才尤其值得我們尊重,當然也更加正確。

現在我們有一個電磁波方程

有一個德國人說:把這個地方的時間和坐標變成這樣一個、的時候,方程的形式就可以不變。

這可以說是個數學遊戲,也可以說是對光本身的理解。當時的學問叫球變換,一團火光從中心向外發射的時候就是球形出去的。而如果運動的時候,這一團火光看起來還是球形的,這就是球變換。 光學書里面常見的錯誤就是球面波這個翻譯,這是錯的,是球波,不是球面波,是從光源算起,整個空間是充滿的,而不僅僅是波前的球面。洛倫茲變換就是讓球還是球的變換,大家一定要記住這一條

接下來很多人參與研究這樣的變換,洛倫茲,拉莫爾(Larmor)都來研究它。到了 1905 年,法國一位大神龐加萊(他研究了一個特別小的問題,三體問題,就被我們中國的劉慈欣先生寫成了小說,風靡世界)就說,這樣一個變換應該有一個重要性質——應該構成群。構成群是什麼意思?不用管,就知道我們這個大神說什麼就是一言九鼎。龐加萊說這個變換應該叫做洛倫茲變換,於是這事就叫洛倫茲變換了,誰也沒辦法。提醒大家一句,相對論的精髓就是這樣一個變換構成的群叫洛倫茲群,如果你把簡單的時空平移再加上以後,那就是更大的群,叫龐加萊群,是狹義相對論的學問。不用這樣的概念談論的相對論都不是相對論,請大家記住。

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怎麼去推導這樣一個變換?尤其是對於研究生、大學生來說這個變換怎麼推導呢?特別簡單,如果你懂這些道理就特別簡單。

  • 第一條,兩個坐標之間首先要滿足變換是線性變換;

  • 第二條,要保證他們倆的平方差不變;

  • 第三條,要求構成群。

按照這三條要求的時候很輕鬆的就能推導出洛倫茲變換,大家不用去記,請大家記住很重要的一條東西,你學科學的時候,當你理解的時候你就發現特別好記了,過去的東西不好記就是你沒理解,弄不清楚它之間的關係。

有了這樣一個洛倫茲變換,並且構成群的性質,我們想說的是什麼呢?一是變換這里有個參數是速度,再變換一次還有速度這個參數。既然構成群,兩次變換可以通過一次變換達到,這一次變換的參數 和剛才的 、 有什麼關係?就是我們相對論書里見到的,是中學時候學到的速度相加的公式。

這個公式有一個性質:

、 都小於 的話,你加出來的結果也小於 。

「光速是質量粒子速度上限」,「光速是常數」等等,你經常有聽到這樣一些話,但是這個地方是速度本身作為一個參數和 的性質沒牽扯到一起,光速一定要作為一個特殊對像要另外理解,我再提醒大家光速最要命的地方是,它沒有參照物,就像一般人互相會比誰比誰更有錢,你發現皇帝跟誰比有錢?因為天下東西都是他的,他沒法比,他不可以跟你比。

現在的問題來了,關於電磁波,關於電磁波的變換,關於速度的認識,關於這里面變換構成群的認識,到 1905 年都完成了,而這一年愛因斯坦 26 歲,僅僅是專利局的一個小職員,請問為什麼發展了相對論這樣一件事情會落到了他的頭上。

大家想過這個問題沒有?1905 年狹義相對論幾乎所有內容都在了,為什麼創立了狹義相對論這樣一個名聲落到了愛因斯坦這樣瑞士專利局三等技術專家的頭上?

這齣在一個很要命的問題上。大家都戴過手錶,會發現手錶這個問題很要命。過去戴手錶的時候,一屋子里只有一個人戴手錶,我們是知道幾點的,但有兩個人戴手錶就不知道是幾點了,因為大家手錶顯示的數不一樣。以前機械錶誤差更大,據說巴黎市政廳和巴黎火車站時間都相差很大,這很麻煩。所以大家記住很重要的東西,鐘錶不能告訴你時間,與它相媲美的還有另外一個問題,就是沒有任何一個溫度計是測溫度的,我們每個學物理的人都要思考這一問題。溫度計從來不測溫度這個問題我們有空再聊,今天我們單聊鐘錶不能告訴你正確時間,這是要命的問題。

鐘錶不能告訴我們時間我們要鐘錶幹嘛?我們來思考,鐘錶有什麼問題?我們先看假設兩個火車站之間各自有個鐘錶,會出現什麼情況?我們有一列車從北京出發,發電報給上海火車站說:我的列車八點鐘開了。而你在上海火車站接到這個電報的時候,你會發現,電報沒有任何意義。因為我哪知道你這個鐘錶八點鐘是什麼時候。要想讓這句話有意義,那就要建立起校準的過程,校準怎麼校呢?這里需要靠光(電報)建立起聯繫。

假設我在 時刻從甲火車站發一個光信號,到乙火車站的時候再反射回來,反射信號在 時刻被接收到,此時,再往乙火車站發一個信號。而對乙火車站來說,收到第一個信號並彈回去的時刻是 ,第二次收到信號的時刻是 ,如果 與 相等的話,那兩個鐘錶量度長度是一樣的了。

如果我進一步要求
,那這兩個鐘錶的指針就調到了相同的位置,而且轉動的速度一樣,我們就可以說這兩塊鐘錶校準了。但是問題還沒完全得到解決,因為在火車跑的過程中,列車長也得研究怎麼校準時鐘。比如說北京站發出去之後,北京站站長就不管了,上海站站長很著急,你到哪兒了。火車上列車長說我九點過濟南了,又沒意義,因為火車是運動著的。這就有運動和靜止的鐘表如何校準的問題,而愛因斯坦一戰成名的文章就是因為這個問題,而我們中英文教科書里都沒有提這個事情。

看看愛因斯坦多偉大,這位瑞士聯邦專利局三等技術專家,瞄準了靜止的鐘表和相對運動的鐘表之間如何校準的問題,冥冥之中正好這些因素就湊到一塊了。 狹義相對論的三個關鍵存在,火車、電報、鐘錶,關於這段的故事,請大家有空讀《愛因斯坦的鐘表和龐加萊的地圖》,講得非常詳細。

愛因斯坦給出一個方程,

曹則賢開講:什麼是相對論?| 「新年悟理」2021跨年科學演講

這是一個微分方程,這個微分方程的解就是洛倫茲變換,神奇不神奇。當然別人是從已知的地方推出來的,而愛因斯坦竟然從這樣一個技術方面的工作導出了方程,這個方程的解是洛倫茲變換。當然了僅僅是得出這樣一個別人已經知道洛倫茲變換的結果並不會造就你的偉大,所以說愛因斯坦會有更深刻的思考。

比方說關於相對性原理,一個物理過程相對它靜止看到的規律和相對它運動看到的規律應該是一樣的。可是許多人僅僅是會背這樣一句話,你拿它用到具體問題上了嗎?愛因斯坦用到具體問題上,我們說一個原子向兩個方向發出兩個光子的過程,相對於靜止看,是滿足能量守恆、動量守恆。你相對它有一個速度
,還滿足動量守恆和能量守恆,你把這兩種情形的能量守恆和動量守恆四個式子寫出來的時候,這四個數學式子就可以來回倒騰,得到一個很重要的結論,

原子發光的過程原子要「變瘦」,質量要少,這個大家也能理解。你跑到操場上,連跑帶喊的,時間長了你也瘦。所以原子發光的過程質量會減少,但是重要的是減少多少。從這個公式出發愛因斯坦考慮了這個過程,減少的質量乘上光速平方應該是光的能量。但這樣一個作為狹義相對論標籤式的方程 是普朗克最先寫出來的。請大家記住非常重要的一條,第一個對相對論做出響應的大物理學家就是普朗克,這個世界上第一個相對論方面的博士就是普朗克的博士,普朗克是相對論的奠基人之一。

核化學進展表明,我們發現原子核裂變的時候,原子核質量確實是減少了,減少的部分變成了動能。但是這樣一個思想,包括這樣一個公式 的出現,其實根本不用等到 1905 年。在 1903 年一本義大利語的雜誌里,一個義大利工程師 Olinto De Pretto 早就寫出這個公式了。

狹義相對論對力學和電磁學的改造

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可以看到經典電磁學和經典力學愛因斯坦學得很好,既然是狹義相對論就一定用四矢量談論問題,不要再將時空和空間分開了。這里不是嘴上說不是分開的,是你的數學表達式不能把它分開。時空是這樣的四矢量 ,動量是這樣的四矢量
,前面就是我們常說的動量,後面是能量,這樣的四矢量也滿足洛倫茲變換,於是我們就得出動量和能量的變換。動量、能量變換有一個性質是四矢量模平方不變,把平方寫在一起的時候就得出了下面的這個公式,

這就是狹義相對論運動粒子能量表達式,人家得出這些重要結果的數學推導過程,基本上不超過我們現在高中數學的水平,但是人家會思考問題。

能量、動量有四矢量,要構建角動量的時候是這樣的矩陣。

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其實里面的 就是我們常說的角動量, 是新的量,表達成相對論統一的,能表達這麼優雅的矩陣表達式是我 2019 年才想起來的,關於這一點我非常驕傲。能寫出這樣張量表達式的時候,洛倫茲變換就是二重洛倫茲變換,我們這個角動量就好解決了。如果大家不熟悉的話,關於電磁場的洛倫茲變換是有的,電磁場張量

就是滿足二重的洛倫茲變換的問題

歐洲這幫物理學家可以說是非常的「喪心病狂」,1905 年的狹義相對論出來,到 1907 年的時候基本上就沒事了。所以就有問題了,什麼問題呢?我們要深入考慮,考慮它的應用問題等等。比如說關於狹義相對論我們一定要特別特別關注這樣一個最需要討論的對象,就是光速,光速是什麼。光速在 這個寫法里就是把時間的量綱變成長度的量綱,光速是時空的連接。光速在能量和質量相關係的時候,把它寫成
這樣的時候,光速的平方是比例因子,始終是一個常數,雖然叫速度,但是是沒有參照系的一個常數。

所以對光速的理解,光速真的不算速度,或者說就是速度它也不是你說的別的速度,這句話我仿照的是世界的數學物理中心德國北部哥廷根這個小鎮子的一句話,這個酒館牆上刻著「哥廷根以外沒有生活」,就算有生活也不是我們這兒的生活,所以光速不是速度,如果你要堅持認為它是速度,那也不是別的那樣的速度。

所以說光速作為一個基本物理常數,在這之前還有哪個基本物理常數被發現呢?1900年引入的普朗克常數 。所以為什麼普朗克對愛因斯坦的工作特別敏感,率先響應?因為這個世界上又出現了一個基本物理常數。

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普朗克很快就派他的助手去看那個窮困潦倒的愛因斯坦。因為他來自柏林,又是著名大學教授的助手還是比較有錢的,來看愛因斯坦,愛因斯坦就遞給他一支特別劣質的香菸,他實在抽不下去,趁著愛因斯坦不注意把煙扔水里了。但是普朗克和這位助手,都成為了發展相對論的人,普朗克某種意義上是愛因斯坦的保護人,他們倆之間算友誼也好,非常有趣,1929年設立了普朗克獎,首屆獲獎人竟然是普朗克本人和愛因斯坦。

狹義相對論與我們的生活

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相對論和我們的生活有什麼關係呢?這很重要。相對論一個很重要的意義是打破了同時性具有絕對性的概念,就是兩個時間點到底同時不同時不具有絕對性的意義,但是我們很多日常生活又確實需要對時間有某種意義上的絕對性意義。從前我們戴手錶的時候大家定時都要把手錶上的鈕擰一擰,我們現在手機拿出來顯示的是同樣的時間,為什麼這樣?因為中國科學院國家授時中心管你這個事情。

光速是一個常數還是整數,也就是說它是個約定的東西,距離、間距等於光速乘常數,雷達、北斗導航衛星值錢的地方實際上是什麼?是鐘錶。我們是通過測量時間間隔來決定兩點之間距離的,因為光速這個值很大, 大家可以想像一下,如果距離相差一公里的話,時間相差才是三十萬分之一秒。比如原子噴泉鍾,據說我們當前的精度可以達到十的負十六次方,這是高精度的表。

當然反過來說,這樣一個公式,也就說明光速太大,要想出現有明顯可感覺的時間差的時候,這個空間尺度要非常大。比如說宇宙尺度上,我們的探月過程,我們的地球到月亮的距離差不多是 1 光秒多一點,信號來回一趟的時間就是 2 秒多,再加上一點反應時間,差不多是 4 秒,所以就有著名的探月過程,陸月器最後有黑暗 4 秒的說法,也就是最後那 4
秒它的行為只能靠它自己。在地球到月亮的宇宙尺度上才會出現差不多 3 秒左右的黑暗時間的問題,這樣反過來也說,就是在我們人的日常生活中,有兩三秒的時間差異或者時間延遲的話,我覺得這是可以諒解的,可以容忍的,這也可以作為我們對一個人是否拖沓,是否拖延的判據。拖沓、拖延 3 秒以內的我覺得是可以容忍的,像今天這個天,如果你女朋友讓你到外面取外賣,你磨蹭不超過 3
秒不跟你翻臉的話,建議這樣的好女孩你要珍惜,繼續交往。

關係 和比例係數讓我們知道——質量減少一點點,得到的能量是非常大的,這是我們利用核能源的關鍵理論基礎,不給大家細講了。

#狹義相對論的侷限

接下來到前幾年還出現了非常狹義相對論之說 (very special relativity),其實說的就是過去的麥克斯韋方程組或者洛倫茲變換這個群太大了,而實際很多物理過程用不到那麼大的群,小一點的群,像 群, 群也就夠用了。狹義相對論還有一個叫法,意思是加了限制的相對論。這樣一個小群只能把相對論限制得更死了,就是這麼一個意思,這是 2004 年的工作。

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接下來我們看狹義相對論的侷限。它是關於電磁學的對稱性,不適用於引力的問題。因為我們談論引力理論的時候,兩個物體互相吸引的力我們認為是瞬間就到達的,沒考慮引力傳播還需要點時間。當然有人說了,我們在考慮電磁學的時候,庫侖定理也沒考慮兩個電荷之間的作用傳播需要時間。

後來是怎麼弄的?電磁學是這麼弄的,就是把距離再減去一個 ,考慮到了時間延遲,這就是著名的延遲勢的概念。這樣處理引力行不行?不行,因為這個地方吸引的是電荷,電荷另外一邊才是質量。如果你用來處理引力就不行了,這上面本身是質量,前面還是質量,這變成了糾纏不清的一個非線性問題,最後結果不對。

所以說這一套把洛倫茲變換用到了引力理論的方法走不通。

因此到了1907年的時候,當愛因斯坦被邀請去對狹義相對論做個總結的時候,愛因斯坦認識到了這樣一個問題,他說我來推廣相對論吧。當他把相對論推廣了的時候,才有了所謂的狹義相對論。因為你不推廣它,沒有更加廣泛的相對論也顯不出原來是狹義的。狹義相對論是 1905 年做出來的,但是 1907 年才有人想到推廣他,後來才被命名為狹義相對論

狹義相對論的硬核內容

愛因斯坦開始推廣相對論,就是因為他要為整個物理學構造出一攬子關於時間和空間的方案,不能光適用於電磁學,也要適用於引力。可是怎麼考慮呢?這時候你就要對相對論本身的內容有所理解,相對論的內容是什麼?洛倫茲變換以及時空距離。最重要的是這個時空距離要表達成一般的幾何問題,這個工作是誰做的?據說是愛因斯坦那個不太能瞧得上他的老師閔可夫斯基(Minkowski)做的。

他來自這個世界上最神奇的地方,就是普魯士的,也就是現在俄羅斯的加里寧格勒,提出哥德巴赫猜想的哥德巴赫,還有康德這些人都來自這個小鎮子。在這之前他就有一本著名的書,有多少數學老師?哪個學校的教過孩子們「數」的幾何?有哪個學校教過 1,2,3,4,5,6
這些數是有幾何的?這就是人家閔可夫斯基高的地方,把時間和空間縫在一起,這就是閔可夫斯基幾何問題。

如果你要想從幾何的角度推廣這些理論的話,就必須有普適性、一般性。四維空間幾何的理論,要乘上一個一般的對稱矩陣,叫度規的一個東西,就是如何規定空間里面兩點距離的一個東西,這是所有廣義相對論的關鍵。

請大家記住,物理學是幾何學,懂得這個道理的人,他就知道,量子力學表現的是幾何學,因為量子這個詞就出現在 1854 年黎曼的那篇著名的幾何學論文的第一句的最後一個詞,而那里面第一句所表現的思想就是空間的量子化,幾何量子化。而到了1924年,玻色就是用相空間的幾何量子化,得出來新的黑體輻射公式的推導。而愛因斯坦是熟悉這一套理論的,接下來就有了玻色-愛因斯坦凝聚,這些在我們學起來都是非常艱難的,好像是不相關的學問,他們其實是一體的。

推廣相對論

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我們看愛因斯坦是怎麼推廣相對論的。

  1. 引力質量與慣性質量等價;

  2. 參照框架的相對加速度等價於一個均勻引力場。

據說有這麼兩件事情,其實就是研究一個小物體被大物體吸引的牛頓力學方程。愛因斯坦做的第一件事,就是是認定引力質量和慣性質量等價,慣性質量和慣性質量可以約掉,就是這麼簡單。

方程左邊是加速度,右邊是引力勢。如果加速度是相對於一個勻加速的參照系,左邊就得加個常數加速度,另一邊也得加上同樣的項,而這個常數就是恆定、均衡的,空間均勻的引力場,參照框架的相對加速度,等價於一個均勻的引力場,這個引力場和加速度湊到一起了。

愛因斯坦說出事了,因為你回顧一下牛頓三定律,第一句話說的是什麼?說的是外力等於零的情況下,這個運動是慣性的,可是現在我的加速度和引力分不開了,什麼叫加速度等於零的勻速直線運動?愛因斯坦覺得必須把慣性運動這個概唸給修正。所以在廣義相對論里面,慣性的定義變成了除了引力之外的其他力等於零的情況下的運動叫慣性運動,也就是說從高空往下落的過程中這是慣性運動。

當然做這樣的慣性運動也叫自由落體,大家知道自由的下落,說自由下落這個過程是非常 happy 的過程,一個人從高空墜落這個過程是非常 happy 的,什麼時候讓你感覺到你不 happy 呢,是大地接著你,不讓你墮落的時候,痛苦才來的。

據說愛因斯坦 1913 年某一天下午才想明白,原來自由下落的過程是非常 happy 的過程,是感覺不到引力的過程,這個過程是可以當做慣性的,也就是說我可以把慣性運動的概念修訂為:

除了引力之外的所有力為零下的運動狀態叫慣性。

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有了這些認識,原來是說要描述引力的,描述彎曲空間的事情變成如何描述加速度了。怎麼描述加速度?我們回憶一下中學物理。有一個簡單的例子,勻加速運動。大家想像一下,一輛車從你家地里開過之後,警察來了能看到什麼?看到車軲轆印子,好的警察就要通過車軲轆印子判斷你這個車是怎麼開的。所以說人家很早就有這個思想,一個幾何體和一個軌跡都要從他自身去找到描述,不能從外在的世界找到描述。我們知道圓是一維閉合的幾何體,我們相當多的同學還有一個特別錯誤的概念,以為圓有圓心。我再提醒大家一下,圓沒有圓心,圓心是引入的輔助的概念。

工人在一個地方要畫個圓圈的時候,或者開車的時候畫圓圈的時候,只要方向盤打個不變的角度,車會自動畫出來圓圈,沒有圓心,這是人家西方幾何里早就有的思想。有了這些思想你再學人家相對論怎麼描述的時候,突然就明白了。

比如說我們學的加速度都是位置對時間的二階微分,如果回顧描述一條彎曲曲線會用到哪些幾何的時候,你會發現人家都是描述位置對距離的二階微分

而這樣一個知識其實在我們的日常生活里都是這樣的。比如你如果描述從北京到上海的 G3、G4
高速是怎麼描述的?不是給出坐標相對時間的變化,而從來都是車所在的位置相對於起點多少公里處,你告訴我順著這條路多少公里處就行了,我就能找到你了。所以描述一條曲線正確的參數是這條曲線的長,這樣的好處是如果位置相對於軌跡弧長變化的話,你的加速度和弧長本身是垂直的,永遠是向心加速度,或者勻速圓周運動告訴我們,加速度和曲率成反比。如果你用這樣一個二階微分公式來寫加速度的話,加速度本身就等於軌跡那一點的曲率。於是乎描述加速度這件事情又變成描述曲線怎麼彎曲的了,我們需要學的是描述軌跡或者存在的曲面,或者那個空間是怎麼彎曲的學問了。

描述曲線怎麼彎曲運動以及描述曲面怎麼彎曲,這樣的一個幾何學問又是來自於我們日常生活,尤其是像法國和德國這種地方,生活在丘陵地帶的地方,他們的科學家很早做大地測量的時候就知道大地是彎的,怎麼在地圖里把彎的事情都給表達清楚,就是他們在實踐中所創造的學問。據說那個數學大神,被稱為數學第一人的高斯,就是一直在忙著測德國地形如何彎曲的過程中發展出了測地線這個學問,在這個過程中接到了他家里派人,匆匆忙忙趕到工作地點送信的,說您趕緊回家吧,您夫人不行了。高斯竟然說,再等一會兒,我馬上就完。

在這樣一個過程中,高斯、黎曼他們完成了對彎曲空間如何描述的這樣一門學問,當然這門學問如何描述彎曲,還有牛頓,以及還有一個法國 16 歲的少年克萊洛,寫出了二維平面曲線和三維空間曲線。

1729 年克萊洛寫出這樣公式的時候僅僅 16 歲,但是在論文後面寫出了一個要求,我要當院士。16 歲是未成年人,不能讓他當院士,所以就被拒絕了。兩年以後,他又寫出了三維空間曲線曲率的表達式,就是我們學經典力學里面三維空間標架,切線、法線和第二個法線標架,就是克萊洛 18 歲的時候給我們引進的,他在論文後面又寫出這樣的要求,我要當院士。大家實在是沒臉再拒絕他了,所以克萊洛 18
歲當上的院士。

這些曲率的公式就不給大家講了,但是越彎曲意味著蓄的能量越大,這一點我們的老祖宗早就告訴我們了,那就是弓。弓拉得越彎力越大,曲率和能量密度的關係我們應該是知道的。愛因斯坦他們後來得到相對論場方程更多藉助於材料科學和結構力學方面的知識,就不跟大家講細節了。

現在我們知道,我們描述時空彎曲就是描述加速度,描述引力也是描述加速度。加速度、引力、曲率、彎曲時空,這些東西湊到一起了,現在我們只需要學會給定彎曲時空,我們知道彎曲時空兩點之間距離,就能求出它的曲率,這是愛因斯坦要學的學問。

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這一套學問愛因斯坦會不會呢?愛因斯坦不會,這也正常,誰的學問都是從不會到會慢慢學的。但是愛因斯坦不一樣,愛因斯坦是貴人,有人相助,誰呢?愛因斯坦的大學同學馬塞爾·格羅斯曼(Marcel Grossmann),給愛因斯坦安排了在專利局的工作,思考火車、鐘錶和電報,於是有了狹義相對論。

愛因斯坦從 1907 年差不多幹到 1912 年、1913 年,有很多種方案,最後都不行。到這個時候才明白了

要描述引力,需要有能夠描述彎曲、加速度、曲率、彎曲時空的曲率的數學。

於是愛因斯坦問格羅斯曼有沒有這方面的數學研究,格羅斯曼在圖書館給他查了一天告訴他,有!現在經過慕尼黑大學往南傳到了義大利北面,形成學派,還出了一本書——《絕對微分》(absolute differential
calculus),相對論其實就是研究絕對性,這個地方是絕對微分,現在我們叫張量分析。1907 年圖利奧·列維-齊維塔(Tullio Levi-Civita)就開始研究相對論。

格羅斯曼告訴愛因斯坦有張量分析和這一本書以後,於是愛因斯坦就開始學習,這是愛因斯坦為了構造他的廣義相對論,跟著張量分析這本書現學的。到 1915
年初的時候格羅斯曼介紹了列維-齊維塔跟愛因斯坦認識。一個數學家發現他的工作竟然有人感興趣!所以你能想像到他的熱情——列維-齊維塔這個義大利人用德文和法文一點一點寫信教愛因斯坦。而在這冥冥之中,還有一點「宿命」的東西。愛因斯坦上初中的時候,他的爸爸媽媽跑到義大利北部城市米蘭開電機廠,所以愛因斯坦說我小時候在義大利待過,請你用義大利語教我。

你們注意到一個問題沒有?一個義大利人在用德語和法語,不厭其煩地教愛因斯坦。

彎曲空間的幾何

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愛因斯坦 1915 年上半年就掌握了張量分析,廣義相對論就在這一頁,特別簡單,上圖中第一個公式 就是兩點之間的距離公式。雖然看起來特嚇人,但其實在二維平面里就是勾股定理,沒有什麼其他的東西。如果我們初中老師願意給我們往前稍微引申一點,那時候你學不懂,至少你知道的話,將來學廣義相對論就不會害怕。

描述兩點之間距離 的矩陣,對它進行微分就得到了這個聯絡

再進行微分,就得到了黎曼張量

這兩個指標一收縮就是里奇張量 ,就是做兩步微分的東西。

在上述兩次微分的過程中,第一次微分得出了 Christoffel 符號,以此為幾何的出發點,於是乎有了規範場論。給定一個聯絡,更加擴展地定義微分幾何,這就是楊振寧先生工作的方向,也是華人數學家陳省身先生工作的方向。黎曼張量里這個黎曼也有來頭。黎曼在他 1854
年的論文不僅確定了數學的內容,還是第一個使用了量子,並且也是指明了量子力學本質是幾何量子化的一篇論文。

里奇張量則是描述時空怎麼彎曲的,在義大利語里奇其名竟然就是彎曲的意思。

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推廣相對論

從質量密度 產生的弱引力場出發,可以得到方程

這樣一個方程得出來,取非相對論能量密度 ,可以得到 。接著擴展到 矩陣都行,也就是 ,其中的 矩陣就是愛因斯坦張量 ,這個過程某種意義上就是猜的。但是猜不丟人,其實猜反而是我們教育、培養物理學家必須要教的功夫。當然了,猜的前提是你要有本事,也有基礎。

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這個方程是 1915 年 12 月底,愛因斯坦得出的這個方程;1916 年 3 月份,這篇論文正式發表。但是有一個非常詭異的事情,這個嚇死人的張量方程竟然在 1916 年 1
月份被人解出來了,解決者的工作條件是什麼呢?1916年,既是瘟疫又是世界第一次大戰的時候。這位史瓦西(Schwarzschild)老兄是一名炮兵上尉,在戰壕里隨手把方程給求解出來了。大家看到這里肯定有一個問題。我每想到這里的時候,就想起在我年輕的時候也抱怨過工作條件不好這件事情,我覺得特別不好意思,你工作條件差能差到哪兒去?

1916 年,冬天,瘟疫,戰爭,冰天雪地的戰壕里,人家能把這個方程解出來。為什麼他能解出來呢?因為他入伍前是哥廷根大學的數學教授,也是哥廷根天文台的台長。

引力場方程在 1915 年底,1916 年初還是上面這個樣子。1917 年愛因斯坦說這個方程的解不是穩態的解,要加一項 ,就是後來宇宙學和天文學里說的宇宙常數項這樣一個問題。當然加這一項顯得有點隨便,但是後來如果學到數學中 Beltrami 不變理論(Beltrami invariant theory)的時候,就知道愛因斯坦還是做得很多的,這個以後再說。

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德國哥廷根有一位叫希爾伯特(Hilbert)的教授,哥廷根大學數學系大神。愛因斯坦從 1907 年想到要擴展相對論,幹到 1915 年底好像才依稀看到曙光。在 1915 年 12 月 20 日,希爾伯特從作用量出發,用經典力學中的變分法的歐拉-拉格朗日方程就得出了引力的場方程。愛因斯坦廢了八年的勁,卻還是比人家晚了 5 天,你們能想像愛因斯坦什麼心情嗎?你幹了 8
年,人家隨手畫畫比你早幾天,而且用明信片告訴給你了。你能想像愛因斯坦這麼偉大的人物也會罵人麼?我們很難想像,但是可以理解。

但是希爾伯特實在是個大神,「這有什麼好罵的呢」「所有優先權給你不就好了」「多大點事」。所以這件事情讓愛因斯坦特別不好意思,愛因斯坦又給希爾伯特回了一個明信片,說像我們倆這麼偉大的心靈,為這麼點小事,太不好意思了。希爾伯特為什麼這麼厲害?當然這個時候我們不說這些軼事,我們說一下愛因斯坦一個特別嚴肅的抱怨——困難不在於找到這樣一個方程,困難是要認識到這個地方,這個方程是牛頓引力的推廣,是要做物理。愛因斯坦這個說法對不對呢?也對,但是我個人總覺得好像面對這樣一個大神,有一種你的累死累活不過就是別人的輕描淡寫。

希爾伯特當然太厲害了,在物理上還有一個希爾伯特空間的概念,但是希爾伯特空間不是希爾伯特提出來的,是馮·諾依曼提出來的。據說 1930 年做量子力學報告的時候,馮·諾依曼說量子力學應該用算符本徵函數張開的空間,這個空間是希爾伯特空間。希爾伯特坐在底下說希爾伯特空間?我怎麼沒聽說過,所以你看人家大神有多厲害。

他說了一個對我們物理學家傷害很大的話,就是「物理對物理學家來說太難了」,就是你們物理學家能做什麼物理啊。這句話對不對呢?反正我看他這句話我是很服氣的。

我們再看一下義大利的 Beltrami,他發展了 Beltrami 不變量理論。從這個不變量出發,你會發現關於四維空間里彎曲描述動力學方程只能有這三項

後來愛因斯坦也親口說,這個方程左邊是象牙做的,因為根據微分幾何學就必須長這樣子。右邊是木頭的,關於物質的能量、張量、動量,是物理的,保持能量守恆的張量形式差不多到 1965
年才得到,那時候愛因斯坦已經去世了。關於這個不變量理論,從這個角度推導引力場方程也是很容易的,我再強調一下我寫這一段的感慨:你的累死累活,不過就是別人的輕描淡寫。很傷感,但是我們要是沒有能力輕描淡寫,還是得累死累活,沒辦法。

不管怎麼樣,關於相對論的思想其實很多人都做出了偉大的貢獻,一些必要的代數知識和幾何知識你也要擁有,這樣才能學會相對論,否則你只能讀一些電影里所描述的相對論了。

這里接下來我們必須要提到一個人——克里福德(Clifford)。克里福德代數是近代物理學的基礎。他曾經說過這麼一段話

引力引起空間彎曲,物質可能只是彎曲空間上的漣漪。

這句話被今天的宇宙學和天文學不斷重複著。有人能說出這麼文藝的話,我們能夠想像這個天才一定是相當文藝,因為他是哲學家、數學家、物理學家,他還是一個兒童文學作家,但可惜只活到了 34 歲。

如果我們要談到關於電動力學、狹義相對論的基礎,關於量子力學的基礎,關於非歐幾何的基礎,關於廣義相對論的數學基礎,我們必須要提到的人是黎曼。黎曼(1826—1866)活了不過四十歲,從他 25 歲做數學算起,到他去世,不過 15 年的時間。有一種說法,黎曼 15 年的數學貢獻了 19 世紀數學的一半。這里我必須提醒一句,黎曼到 19
歲的時候是個文科生。他是哥廷根大學的文科生,但是哥廷根大學理科比較厲害,他們有個很著名的老師就是高斯。高斯有一天在學院里遇到黎曼,說你去學數學,然後就把黎曼送到了德國的柏林大學,送給他的朋友上了三年本科,招回哥廷根大學跟著他讀博士,所以說黎曼是在高斯那兒獲得的博士學位。我再提醒大家一句,他的論文《作為幾何基礎的幾個假設》,是眾多數學的基礎,也是非歐幾何的基礎,也是量子力學最基本思想的基礎,是他想獲得講師資格的申請求職的論文。

廣義相對論:引力的幾何理論

我們有了廣義相對論了,有了場方程

場方程里面的東西怎麼運動呢?就是自由落體的運動方程,就是測地線方程

這兩個方程可能有特別文學的解釋,說這個方程告訴我物質怎麼讓空間彎曲,這個方程告訴我彎曲空間中物質怎麼下落,怎麼做運動。但是你理解歪了,因為一個彎曲幾何里面運動的東西本身一定是個整體的,應該由一個方程描述,怎麼會分成兩個不同的方程?愛因斯坦本人就知道,這兩個方程應該是一體的,而不應該是兩個方程,他也試圖努力得到一個一體的方程,但最終也是沒得到,愛因斯坦本人覺得這個事情非常令人絕望。

曹則賢開講:什麼是相對論?| 「新年悟理」2021跨年科學演講

令人絕望的過程中愛因斯坦又考慮了一個問題,這個問題就是我們經典力學里面非常著名的水桶實驗,大家回去拿一個大杯子或者拿一個塑料桶吊起來,盛半滿的水就知道了。水一開始是平的,把它轉起來以後,水面是凹的,你把水桶抱住,水桶不轉的時候,水面還轉,還是凹的。這是牛頓一開始注意到的問題,請問水面凹是什麼原因造成的?你說是水面運動造成的,可是水面相對誰的運動?相對於水桶?你發現水桶運動的時候它是凹的,你把水桶抱住不讓動的時候還是凹的,所以牛頓就困惑了,不知道怎麼回事了。

後來一個叫馬赫的人,說如果那個水桶足夠厚實的話,你可能就會對這個問題有正確的理解了,愛因斯坦也注意到了這個問題,說明什麼?說明兩個有質量的物體不僅僅是有萬有引力的吸引,還有拖曳效應,而拖曳效應是發空間站和長途空間旅行要考慮的問題。

廣義相對論有什麼威力呢?據說有三大成就,引力紅移、光線彎曲,解釋了水星軌道的進動問題。其實不對,前兩者是在廣義相對論場方程之前愛因斯就有計算,有內容的,水星軌道進動才是場方程以後的有效計算。關於大質量體,比如說太陽周圍時空是彎曲的,光線怎麼走的問題,如果你說太陽這樣大質量體周圍時空是彎曲的,你就不能說光線是彎曲的,光線永遠走直線。或者什麼叫直線?光走的線才是直線,這兩個概念你不能兩套都用。如果空間是平直的你看到的彎曲是彎曲,如果你認定時空彎曲,並且光線走的是彎曲時空的測地線,你就用這套語言,時空是彎曲的,光線永遠走直線,我們學物理的不能把這兩套語言混著說。

1919年傳說有人拍照,說明恆星彎曲,從而證明了愛因斯坦廣義相對論怎么正確。恕我直言,我實在想像不到1919年的照相技術,而且是那麼不清楚的照片,怎麼可能判斷出這樣的彎曲正確不正確,這是不可能的事情。這個事情社會上一直有質疑,一直到1975年英國皇家學會沒辦法了,不得不重新把數據拿出來,說重新檢查一下,來回應社會的疑問,給的結論是非常外交的言詞,說原來對數據的處理你別當真了,別追究了,所以大家提及廣義相對論的時候別再提1919年膠版照相的事了,證明不了什麼。

回到運動這個問題,彎曲時空里面自由落體的軌跡是測地線,是一條直線。在這上面如果有某一個東西或者某一個分佈沿著這樣一個線,是怎麼平行移動?這個概念會是後來的微分幾何里面的關鍵概念,又是剛才那一個義大利人給發展起來的。怎麼找這個感覺呢?有一天我想起來可以讓大家找一個彎曲時空如何平行移動的感覺。

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就是請大家出去旅遊的時候,在遇到山里這樣彎曲的路,並且旁邊都長滿了樹,使得你不能出去的時候,請你肩膀上扛一個長竹竿走,你能走得瀟灑自由的時候就能理解到彎曲時空中沿測地線平行移動是什麼意思了,大家可以有機會去測一下你行不行,看能不能輕鬆自如跑起來,那一刻你就知道廣義相對論在說什麼了。

發展相對論的人

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聊完了廣義相對論,一定再說說發展相對論的人。說到相對論都會提到愛因斯坦,但是我強調一點,相對論不是愛因斯坦一個人能發展起來的,愛因斯坦對物理學的貢獻很全面,沒有這麼窄。

這是1905—1907年第五次索爾維會議,里面很多人都是對相對論有貢獻的人,而且他們的貢獻某種意義上還相當深刻,我隨便舉個例子。

比方說這個叫泡利的人,我特別想請大家注意,尤其是已經做父母和快要做父母的朋友,一定找一找泡利幼年時候的照片,你看可愛聰明的孩子該是什麼樣的。他實在是太可愛,太聰明了,他爸爸的同班同學的爸爸,就是那個著名的數學家、物理學家、哲學家馬赫,能心疼他到什麼程度呢?在他上初中的時候,叫來自維也納數學大學著名數學教授來輔導這個孩子數學和物理。這個孩子在上高中的時候就能做出廣義相對論的論文,上大一的時候,1918年,廣義相對論剛完成兩年,他的導師是慕尼黑大學索莫菲,把回顧相對論整個過程的百科全書條目交給他寫,PDF文件237頁,包括泡利自己380多個註解,是人家大二的時候完成的。泡利大三的時候,就因關於氫分子離子的量子力學問題獲得了博士學位,同學們聽清楚沒有?大一的時候接手相對論創造過程的review文章,大二的時候交,大三的時候印出來,並且因對量子力學創造性的工作獲得了博士學位。

相對論和量子力學

泡利在研究量子力學的過程中引入了很重要的一個矩陣,後面三個矩陣,這就是所謂的泡利矩陣

可是如果你要知道 3+1維時空是可以用二維復矩陣(就是加上一個單位 矩陣作為基
)表示的情況的話,這個矩陣值就是相對論時空的相互作用關係,而這三個矩陣的乘法關係就是描述角動量的乘法關係,就是著名的李代數,然後你就突然明白了這個小孩有多厲害,人家在做量子力學引入的所謂泡利矩陣,構成了數學上的李代數,是復空間的標準表達式,里面內涵著相對論的距離公式,這樣一個泡利矩陣後來被一個叫狄拉克的人又擴展了,兩倍擴展以後得出這個方程,叫狄拉克矩陣

寫到了狄拉克方程

這兩倍的富餘告訴我,世界上除了粒子還有反粒子,你看人家一步步工作都是有紮實的數學基礎的,不是瞎猜的。

關於相對論量子力學這就是狄拉克做出來的,去年講座里我講了,為瞭解釋狄拉克量子力學方程 。1928年提出來的,1930年有一個詮釋,說世界上存在著反粒子,1932年就有人就在宇宙射線和原子核中拍到了這張照片,說一邊是電子,一邊是正電子,據說這樣的原子核反應照片,我們中國的趙忠堯先生在1929年,還有一個蘇聯人拍到了,只是那時候沒有反粒子的概念。當實驗超前於理論的時候,有些研究白做了,也挺可惜的。

有人可能會說廣義相對論很難,學著很費勁,對有些人來說廣義相對論只是個起點。有一個比愛因斯坦晚生了6年的德國人Weyl,這個人對數學的所有領域都有貢獻,在業餘時間隨便就對量子力學和相對論有貢獻了。他對相對論稍微掌握一點,從1916年初才有廣義相對論,1918年的時候這位先生就想到了如何把引力,不是和電,而是和電子聯繫在一起,於是在1918年就寫一篇論文,《論引力和電子》。這篇論文里,人家數學好,知道這個叫聯絡的東西,雖然是從他推導出來的,可能具有更加基本的意義。

他接著就推廣這樣一個聯絡,既然這個東西有一個基本意義的,我隨便去構造差不多的微分的東西的話,是不是就能夠推廣聯絡,推廣出新的微分幾何。於是他把這樣一個普通的微分換成這樣一個協變微分,這樣形式的協變微分,後面是矢量電磁場,這個東西能描述彎曲空間,上面的場就是電磁場,他得出一個概念,電磁現象難道只是引力的伴隨現象。

你想像一下,如果沒有這些數學推導的話,打死你也不敢有這種想法,可是這是Weyl
1918年的工作。他有一個名號,被人形容是走進「物理學瓷器店」的「大象」,遇到什麼踩碎什麼。曾經有一個數學家說他非常傲慢,因為典型的德國人,結果這個數學家的同事就勸他說,不會吧,他怎麼會看不起你,你哪一年能熬到被他看不起。所以我們就體會到了,被人看不起是需要資格的。年輕人不要蠅營狗苟想這個事情,你離別人看不起還早著呢,這是他給我留下的一個意識。

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他從德國去了美國,在普林斯頓高等研究院工作,受邀寫了《有限群》這本書。序言里面他抱怨,說我一個德國人,整天說德語,現在被逼著用英語寫書。說英語又不是我小時候躺在搖籃里我媽給我唱歌的語言,說我用英語寫書的時候是什麼感覺呢?說你們做過夢嗎?做夢夢里騎馬,就是感覺自己風馳電掣,但是胯下沒馬,就是這個感覺。但是結果《有限群》這本書出來的時候,那個英語是非常優美,比一般英國作家的英語要優美多了,結果美國教授就問他,說像你把英語寫得這麼優美,你還說這不是你媽在你搖籃里給你唱歌的歌,感覺騎馬風馳電掣胯下無馬,那我們怎麼辦?就是這樣的大神。

他1918年的論文給我們引出了比量子力學和相對論更高的一門學問,就是規範場論。我們一般提起楊振寧先生,都會用他得諾貝爾獎的成就,也就是1956年所謂對弱相互作用宇稱不守恆的預言當做重要成就。不管是公認還是楊振寧先生自己說的,他最大的成就應該是非阿貝爾的規範場,體現在他老人家這篇論文和20年後的1974年的論文。如果有人對楊先生致敬的話,無論要1954年的這個論文和1957年完成的引力規範場的積分形式,我也寫在了《雲端腳下-從一元二次方程到規範場論》中了,這是我個人的感受,當我學規範場論的時候,我明白它的根出在我沒學會一元二次方程上,關於一元二次方程從小學到中學教科書里,你連1%都沒學會過。

#愛因斯坦的成就

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最後聊兩句愛因斯坦的成就,愛因斯坦不光是對相對論有貢獻,對量子力學的貢獻是非常大的,就在於1905年他接受了普朗克光有能量單元的說法,並解釋了光電效應的實驗結果,後來他還假設出光有動量量子,並且動量量子就是能量量子除以光速 ,。

1916 年廣義相對論發表,1917
年愛因斯坦又去推導普朗克一直在掙扎的黑體輻射公式,假設光場下原子兩能級上的電子如何躍遷這個過程,竟然又再次推導出了黑體輻射。說明他這個模型是對的,但是模型里面出現了一個新的概念叫受激輻射,就是有人站在二樓,如果他自己腿軟了掉下來,這個叫自發輻射,但是另外一種過程是他站在二樓上,也沒打算往下跳,但是有人往下跳有尖叫,他受到影響,腿一軟也下來了,這就是受激輻射。這個概念發展了40多年,到1960年的時候,出現了雷射器,而今天雷射器是人類生活里面非常重要的一個工具,它的工業,軍事意義,在國民經濟上的意義怎麼說都不過分,竟然是愛因斯坦隨手推導黑體輻射過程里引入的一個概念帶給我們的。

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所以說後世的物理學家對愛因斯坦都是極為恭敬的,我引用楊振寧先生對愛因斯坦的評價,說

愛因斯坦是一個特立獨行的思想者,他無畏、獨立、富有創造性,並且執著。

執著,說得客觀一點就是固執。這幾樣和愛因斯坦能做出這麼多偉大成就有什麼關係呢?我個人覺得是有關係的,因為一個人只有自己幹活的時候他才能給出學問整體的框架,因為他自己在戰鬥,他必須對問題有整體的把握,而這是一個人面對著一個龐大的研究對象能夠得出一個有用的理論的必然前提要求。如果你只是做一個大工程里面的一小塊事情,你是不可能給出關於整個框架的高層次的理論的,所以說你一定要對整體有把握。這讓我想起來了當年奧本海默作為曼哈頓工程的首席科學家的時候,堅持他的科學家和工程師必須長期在一起互相交流,而同時期的軍代表格里菲斯中將就要求科學家和工程師不要互相亂竄,因為當你被間諜拿下的時候,知道的越少泄密的就越少。奧本海默堅持學術交流的理由是每個科學家和工程師都要對工程有全面的瞭解,只有每個人都是對這麼一個大的事業有全面瞭解的時候,他才是有創造力的,這是非常重要的觀點。

愛因斯坦為什麼能取得這樣的成就?有些人在一些書里面隨便會提到一個詞叫「科學革命」、「物理革命」等等,其實革命很難,我們注意到哥白尼的「日心說」據說是對「地心說」的革命,可是你去讀哥白尼的書,哥白尼的「日心說」描述行星參照系原點還在地球上,所以說革命就是往前挪一步就是很難的事情,更別提出現所謂體系上的革命。而我們說廣義相對論,愛因斯坦之所以能夠創造廣義相對論,我個人覺得是在於他所生活的環境里提供了他創造所需要的哲學、所需要的數學和啟發他的數學進步。哲學方面,康德、萊布尼茲、馬赫;數學方面,黎曼、高斯、希爾伯特、諾特,還有線性代數創始人格拉斯曼。格羅斯曼這個人寫過一本書《展開的學問》,印了
600 冊,沒賣出去過,但是變成了理工科必須學的學問叫線性代數,現在價值連城,也提醒我們科學院領導能資助一些一百年有用的書。

所以人家能夠做出這樣一些偉大的成就,真的是在於他所處的環境里有豐富的營養,有他創造所需要的一些元素。所以我想說物理學是一條思想的河流,是連續的河流。馬赫也曾經對一些人說,對科學革命這樣一些概念進行過批判,他說過

在物理學里面,如果你看到了革命,那就說明你知道的少。

我舉一個簡單的例子,如果大家看我們中國農村用木頭做的獨輪車,和現在運動員用的賽車,兩個車往一起比你就會發現這絕對是革命,可是你把這中間每一年發展出來的三輪車,兩輪車放在一起,你會發現是一個連續的變化,你知道的少,你才看到了革命,你知道的多你就知道人家的思想改進,思想的連續性。愛因斯坦作為一個科學史上的現象,絕對是值得我們值得研究學習的,作為科學現象也值得研究。我想說真的是永恆的愛因斯坦老師,永恆的相對論。

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相對論是什麼呢?我個人的感慨是德式嚴謹,開普勒、高斯這些人和意式浪漫的完美結合,包括伽利略、里奇這些人,冥冥之中有某些天意在里面。大家記住,愛因斯坦的狹義相對論一開始就在講電磁感應現像兩個描述的不對稱,可是愛因斯坦為什麼對這個問題那麼熟?你會注意到一個很有趣的現象,愛因斯坦上初中的時候他的父母是跑到義大利北部開廠子的,開電機廠,他們家有的就是線圈和磁鐵。他們那時候選的是直流電機方案,愛因斯坦到了義大利跟著父母待一段時間,沒辦法,到瑞士接著上中學。一個留守兒童怎麼去上學,你會發現很有趣了,愛因斯坦上初中以前的時候是對歐幾里得幾何感興趣的,在他家吃飯的猶太人教的他,他上中學也是在一個猶太人家蹭飯吃。猶太人讓陌生人到家里吃飯,你要給人家吃飽,這是他們聖經里說的,這是猶太民族聰明的地方。為什麼這麼多人做事業的時候縮手縮腳的,就是一旦我要是做的傾家蕩產了以後,我們家孩子怎麼辦,所以做事情很謹慎。可是人家說別人家的孩子,到你家要給別人家孩子吃飽,這樣就把每個家庭孩子的存活問題上升到一個群體,一個社區的問題,也就是說我們每個人做事業的時候,完全不必在意事業的成敗,因為當我做事業做敗了,傾家蕩產的時候,我少吃一點,我不用擔心我們家孩子挨餓,這絕對是解放一個民族創造力的重要舉措。

所以我們讀他們這些故事的時候會注意到一個現象,他們做小學生、中學生的時候,有大學生在他們家蹭飯影響著他,他需要的時候可以到人家蹭飯,教人家小孩。

愛因斯坦到瑞士去上學,吃在人家,瑞士是什麼樣的國家?那麼多的數、流體力學、剛體力學,都是產生於瑞士,後來的量子力學、相對論也都產生於瑞士。瑞士的官方語言除了法語、德語還有什麼?義大利語。這一點,義大利人發展了、推廣相對論所需要的數學,而愛因斯坦和列維-齊維塔交流的時候是感到非常親近的,著名描述彎曲時空的里奇張量的「里奇」本意竟然就是「彎曲」,這真的是冥冥中自有天意的感覺。有一種力量叫氛圍,而對孩子,或者教育最好的方式是什麼?就是薰陶

我曾經跟許多小朋友講報告,跟家長講報告的時候我就說過一句話,怎麼教育孩子?就是讓他們到有學問的地方去,讓他們到有學問的人身邊去,這才是最好的教育。

相對論是怎樣的學問?

總結一下相對論是怎麼樣的學問,包括樸素相對論,開普勒 1602 年就應用了,這是我 2018 年瞎編的名字。樸素相對論指的是時空的平移,在相當多的時候是不提的,只有時空平移的時候才是龐加萊的群,雖然簡單,但是數學上沒有它是不完整的,而且認識到這一點的開普勒做出了很偉大的成就。

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伽利略相對論是 1632 年闡述的,是 1909 年命名的。狹義相對論創建於 1905 年,廣義相對論創立於 1915 年,very special relativity 是 2006 年 Cohen Glashow 提出來的,Total Relativity 是 2004
年提出來的,談到了牛頓的水桶實驗,並談到廣義相對論把方程分成引力場方程和測地線方程,本身還是留有遺憾等等問題時出現的這個詞。

最後給大家總結一下相對論是怎樣的學問,

  • 相對性原理是對理論物理的形式要求,它要求你的物理理論方程不依賴於參照者的運動狀態,並且方程的形式不依賴於坐標系的選擇,你不能讓我在你的方程里看到你選擇了特定的坐標系。

  • 相對論的精髓就是時空的洛倫茲變換,加上平移的時候就是龐加萊群。

  • 光是我們和遠方的唯一連接,現在做的精密測量的都知道光是我們深入到最微觀世界的唯一工具,對光的研究永遠都不過時。光是時空的連接,光速沒有參照框架,到今天為止我們不知道有沒有光子這個事情,理論物理上是沒有這個定論的。

  • 廣義相對論是個引力理論,加速度與曲率相聯繫,微分和聯絡有關係。這告訴我們學廣義相對論的時候,要學一些微分幾何,非常榮幸的是,中國人對這樣一門學問是可以做出實質性貢獻的,那個例子就是我們的陳省身先生。

  • 到相對論量子力學、量子場、廣義相對論才見學問,我們有機會應該往深了學。

  • 400餘年歷史的相對論,在21世紀的時候,最起碼應該是每一個理工科人的知識標配,我們要學一些。

對一門學問最好的紀念就是準確地學它。

道可道,非常道,指望我這2個小時的講座讓你知道什麼是相對論,非常不現實,我也從來沒有這種打算。所以請大家要想知道相對論,請大家去讀愛因斯坦以及那些創造愛因斯坦的人的文獻的人。你學習所採用的文獻,或者你當老師給學生推薦教科書的層次反映了你本身的知識層次,這一點非常重要。

如何學習相對論

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給大家推薦一些相對論的書,第一個當然是愛因斯坦本人的論文和他的《相對論的意義》(The meaning of Relativity),還有狹義相對論、廣義相對論的書。為什麼呢?是人家本尊的著作,尤其愛因斯坦德文、英文相當棒,讀來也是享受。

他自己寫自己的學問可能不客觀,也可能會太謙虛,所以我們要看他的老朋友的,就是 Max Born 的《Einstein』s Relativity》,他是愛因斯坦同時代的人,他絕對是以老朋友,以調侃、批評、欣賞的態度來談論這個問題,很值得看。

第三本書是 Weyl 的《空間、時間、物質》(Raum-Zeit-Materie)這個書,有很多版本,這是關於時空的,帶有哲學性的思考,人家有這樣的學問才能指向規範場論。

第四本書是狄拉克晚年在美國寫的這本《廣義相對論》(General theory of Relativity),這本書有多薄呢?69 頁,但是這本書非常棒,把廣義相對論和微分幾何的精髓寫得很好,也難怪楊振寧先生誇狄拉克說他的文章是「秋水文章不染塵」,不囉嗦一句,但是該教會的都教給你了。

再往下 1979 年諾貝爾獎的得者 Weinberg,《引力與宇宙學》(Gravitation and Cosmology)絕對是非常好的書。

另外一個關於相對論很有名的人就是 Wald。Wald 有個學生是北京師範大學的梁燦彬先生。Wald 的《General
Relativity》這本書是我看了封面覺得一定要擁有的一本書,封面設置得很酷,就是綠蘋果下面上面一個桌子,桌子上鋪著一個白布。看到蘋果想到引力問題,蘋果表面是一個彎曲的曲面,彎曲上面能放個平桌子,這就是微分幾何的局域分析的概念,你就知道這是引力加上微分幾何的學問,我覺得這個封面設計的實在太酷了,我的這本書就是想學它,當然學得不像。

Carroll 這本書是偏數學的,還有比較簡單但是比較全面的,我今年出版的《相對論少年版》,我把相對論發展史上所有我能找到的文獻都清楚的列出來了,如果你要想學相對論的話,這本書也許是可以當做一個入門書的,當然這已經是學相對論的下限了,再低就學的不像樣子了。

#結語

量子力學難學嗎?可以說難學,也可以說好學,我們這個歲數的人都看過一個很古老的電影,就是河南豫劇電影《朝陽溝》,里面有非常著名的一句唱

莊稼活說難學也好學,人家咋樣咱咋樣

學相對論,量子力學也是人家咋樣咱咋樣就行了,不要覺得難。像我這樣的人,我 1982 年就上大學了,到現在才敢做一個關於相對論的報告,花了三四十年的時間,說話我們一般智商的人堅持時間夠了也能講一講相對論,當然你想瞭解多深入是不太容易的。但是我總覺得,我們中國人里面的聰明人還是多的,人家當年有 20
多歲的青年能夠創造的學問,咱們今天在這樣一個科學昌明,通訊發達的時代還學不會麼?所以請大家有空的時候也讀一讀,說不定是能學會的,大家可以學起來,尤其愛因斯坦英文文章本身是非常好的。

整理:Shiny、凡tron、xx、cc

校對:NKXXX、凡tron

編輯:NKXXX

來源:kknews曹則賢開講:什麼是相對論?| 「新年悟理」2021跨年科學演講