困擾數學家25年的「切蘋果」難題 被一位華人統計學博士解決了

如何將蘋果平均一分為二,還能保證它長時間的新鮮?這是一個嚴肅的科學問題,已經困擾了人類數學家25年之久。根據常識,就是要保證果肉暴露在外面的面積最小,也就是切片的面積最小。如果跨越到更高的維度,是否依然成立?

這就是1995年,由三位數學家提出的一個幾何學猜想。

現在,這個難題被一位華人統計學博士,解決了。

成果一經發布,就迅速引起了數學、理論計算機科學、統計學等多個領域的科學家的關注。

他們一致認為,數學大師、菲爾茲獎得主,原本猜想的提出者Jean Bourgain(讓·布爾甘)一定會對這一進展感到興奮。

畢竟,在他去世前(2018年)的幾個月里還在關心這一問題進展,但終其一生都未能解決。

困擾數學家25年的幾何問題

1984年,著名數學家讓·布爾甘提出了一個猜想。

一個任意維度的凸體,用低一維的平面去平分,那麼存在一個常數c,讓凸體至少存在一個切面的面積大於c。

換句話說,如果你一刀平分「任意維度空間的西瓜」,隨便你怎麼劈,總有一個切面總大於c。

(Ps:以往的科學家用的是蘋果的例子。但准確來說不能選蘋果,因為蘋果上下是凹的。)

在3維空間中,這個結論似乎很好理解,因為無論西瓜長成什麼奇形怪狀,總不可能在每個角度都細長。

像下面這樣的長西瓜,豎直切下去,切面很小,可以你也可以水平切開平分它,這樣切面就會很大。

但在3維世界中正確的事情,到了高維空間卻不一定成立。

這個問題後來被布爾甘自己證明,但數學家們並不滿足於用平面切西瓜,而是希望能找到一個更小的切面,它可以是曲面

而這恰好是1995年Kannan、Lovász和Simonovits三人提出的KLS猜想關心的問題:用來平分的最小曲面面積是多少?

以二維空間里的一個三角形為例。

這個最小的「曲面」是一段圓弧。用圓弧來平分一個三角形,中間的線長度最短,而最佳「平面」——直線——的效果略差。

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△ 如何用最小「切面」平分三角形(來源:Quanta Magazine)

到了更高維度的空間中,二等分的最佳平面和最佳曲面差距會變大嗎?切面的面積是否和維度d有關?

這個問題已經不再是純粹的數學問題。

普林斯頓大學數學系教授Assaf Naor表示,KLS猜想在純粹的數學和理論計算機科學中都很重要。

KLS猜想的結果,直接關繫到隨機行走算法的運行時間,如機器學習模型中采樣問題。

所以最後解決這個幾何問題的學者,都並非幾何學的專家,而是來自計算機界。

用統計方法解決他

經過數學家的抽象,KLS猜想就像一個封裝着氣體的容器,找到最佳切面就是尋找容器的「瓶頸」。

想象一個啞鈴形狀的容器,里面有一個氣體分子在隨機運動,啞鈴中間連接部分越細,分子就越難跑到另一側。

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△啞鈴形的平分切面很小(來源:Yin Tat Lee論文)

現在人們想知道,在高維空間,這個凸的容器最細的地方有多細。(當然,啞鈴並非是凸的。)

2012年,Eldan通過引入一種稱為隨機定位的技術,來降低這個問題與維度上界。(到底是維度d的幾次冪。)

2015年末,華盛頓大學的Vempala和Yin Tat Lee改進了Eldan的隨機定位,以進一步將KLS因子(用於描述瓶頸是否存在)降低到維度的四次根d1/4。

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△ KLS猜想的上界不斷降低(來源:同上)

甚至,他們還將冪指數降低到幾乎為0,由於d的0次冪總是等於1,Lee和Vempala似乎證明了KLS因子是一個與維度無關的常數。

他們在arXiv上發布了他們的論文。但是幾天後,這篇文章就被人發現了一個缺陷,他們關於d0的證明是錯的。

之後,二人修改了文章,把界限重新調整到d1/4。幾年來,研究人員認為KLS猜想的探索已經到此終結了。

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不過他們還在論文中,保留了d0證明的一些想法。這也為後來的突破埋下伏筆。

他們的論文引起了另一位統計學者Yuansi Chen的注意。

Chen當時是加州大學伯克利分校的統計學研究生,他正在研究隨機采樣方法的混合率。而隨機抽樣是許多類型統計推斷中的關鍵,例如貝葉斯統計。

Chen深入研究文學,花了數周時間試圖填補Lee和Vempala的證明中的空白,但依然沒有解決。

於是他轉變了思路,在Lee和Vempala的思想指導下,他找到了一種方法,採用遞歸來降低KLS因子上界。

經過反復迭代,這種方法將KLS猜想問題再次拉回到d0的上界。

這一結果意味着,高維凸形物體不會有啞鈴那樣的結構。

該定理的結果意味着,在n維凸體中隨機行走,遍歷整個圖形的速度比我們之前預想得要快得多。

這將有助於計算機科學家對不同的隨機采樣算法進行優先級排序。

三個計算機相關的科學家

雖然表面看上去,這三位學者似乎跟數學沒什麼關系。

但仔細翻看他們的履歷,他們都曾跟數學結下了不小的緣分。

首先,直接與研究相關的這位統計學博士後——Yuansi Chen (陳遠思,音譯)。

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今年年初,他開始在杜克大學統計科學系擔任助理教授的職位。

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主要研究方向是統計機器學習、優化以及在神經科學中的應用,尤其對其中域適應性、穩定性、MCMC采樣算法、卷積神經網絡和計算神經科學中出現的統計問題感興趣。

2019年,他在加州大學伯克利分校統計系獲得博士學位。

其博士生導師是著名華裔統計學家、UC伯克利統計系和電子工程與計算機科學系終身教授郁彬。

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在攻讀博士之前,他還在法國Ecole Polytechnique獲得了應用數學專業的工程師文憑。

隨後,前往在蘇黎世聯邦理工學院ETH Foundations of Data Science(ETH-FDS)做博士後研究。

而啟發Yuansi Chen數學靈感的,是兩位計算機科學家。

Yin Tat Lee (李賢達,音譯)和Santosh S. Vempala。

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李賢達,目前是華盛頓大學助理教授,本科畢業於香港中文大學。

2012年從港中文大學畢業後,前往麻省理工學院攻讀博士學位,隨後前往微軟研究院做博士後研究。

他的研究方向主要在算法方面,包括凸優化、凸幾何、譜圖理論和在線算法等廣泛的課題。

以往的研究里,他曾結合連續數學和離散數學的思想,大幅提升了在計算機科學和優化中許多基本問題的算法,比如線性編程和最大流量問題。

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他曾獲得SODA最佳論文獎、NeurIPS 2018最佳論文獎、NSF職業獎。

去年他還獲得了有「諾獎風向標」之稱的斯隆獎,以及美國最大的非政府獎學金之一——帕卡德獎學金。

再來看Santosh S. Vempala,佐治亞理工學院計算機科學教授。

主要研究領域是理論計算機科學,還抽樣、學習、優化和數據分析的算法工具;隨機線性代數,高維幾何。

他曾在卡內基梅隆大學攻讀博士學位,本科畢業於印度理工學院的計算機專業,曾獲NSF職業獎、斯隆獎等獎項。

在來到佐治亞理工學院之前,他曾擔任MIT應用數學系擔任教授、UC伯克利米勒研究員。

數學家:不可思議

隨着陳遠思論文一發布,迅速就引起了數學界的學者關注。

不光是因為此前的錯誤證明,還由於陳遠思這個名字在數學界十分陌生,研究人員對待這一成果十分謹慎。

但他的方法很容易被驗證。

早期研究過KLS猜想的以色列數學家BoázKlartag,就在第一時間看了論文。

我基本上立即停止了我正在做的一切事情,並檢查了這篇論文。

這篇論文是100%正確的,這一點毫無疑問。

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除了一眾數學家關注之外,還引起了理論數學家、統計學等領域的注意。

哈佛大學計算機科學教授、微軟研究院前新英格蘭首席研究員Boaz Barak則發推祝賀。

並表示這是一個非常重要的突破,加速了對近似凸體體積的研究。

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但點贊祝賀之餘,也有不少學者表示十分遺憾。

因為提出這一猜想的人菲爾茲獎得主布爾甘已於2018年去世,如果他還在的話,一定會為這一進展感到興奮。

據QuantaMagazine報道,布爾甘曾在去世前幾個月,聯系了他的朋友、特拉維夫大學教授Vitali Milman,詢問這一猜想是否有任何進展,想在離開之前知道答案。

但Vitali Milman說,布爾甘在這一問題上,花費的時間和投入的精力比任何其他問題多得多。沒想到,最後這個問題卻被統計學解決了。

來源:cnBeta