性質特殊:數學與物理學家提出「量子幻方」新概念

對於許多小朋友來說,數學的魅力,在魔方上就體現得淋漓盡致。不過近日,量子物理學家 Gemma De las Cuevas 又攜手另外兩位數學家(Tim Netzer 和 Tom Drescher),對所謂的「量子幻方」的概念及其性質,展開了更加深入的研究。此前多年,幻方一直停留在人類的想像層面。而已知最古老的幻方,甚至可追溯到 2000 年前的中國。

性質特殊:數學與物理學家提出「量子幻方」新概念

資料圖(來自:西班牙國家圖書館 / CC BY-NC-SA 4.0)

不過西方研究人員相對更加熟悉的,或許包括阿爾布雷希特·丟勒(Albrecht Dürer)在銅版畫上描繪的《Melencolia I》,以及西班牙巴塞隆納聖家族大教堂的那一塊。

作為一組數字的集合體,幻方在每一行(或列)上的數字排布,都具有特殊的意義。比如聖家堂的那個幻方,其每行 / 每列數字之和都是 33 。

如果允許包含實數,則每行 / 每列之和為 1 的幻方,亦可被稱之為『雙隨機矩陣』。

在特殊情況下,你甚至可以看到每一行和每一列都有一個數字 1,但其它格子上都是 0 —— 這又被稱作『置換矩陣』。

某著名定理指出,每個雙隨機矩陣都可作為置換矩陣的凸組合(convex combination)而獲得 —— 換言之,置換矩陣也包含了雙隨機矩陣的所有秘密。

不過更准確的說法,就是後者能夠根據前者來「完全表徵」(fully characterized)。

性質特殊:數學與物理學家提出「量子幻方」新概念

有趣的是,在近日發表於《數學物理雜誌》(Journal of Mathematical Physics)的一篇新論文中,數學家 Tim Netzer 和 Tom Drescher 就攜手理論物理學家 Gemma De las Cuevas,介紹了他們對於「量子幻方」這一概念的深入理解。

這篇文章的標題為《量子幻方:膨脹及其局限性》,主要差異在於數字矩陣的不可交換性(non-commutative)。

作者指出,量子幻方並不能像「經典」幻方那樣容易表徵 —— 更准確的說法是,量子幻方不是量子置換矩陣的「凸組合」。

Tom Drescher 解釋稱:「量子幻方的形式更加豐富,也更難被人們所理解。在研究這種性質的時候,通常都會涉及不可交換性的主題」。

Gemma De las Cuevas 和 Tim Netzer 補充道:「這項工作很好地展示了跨學科合作的益處,因為相關研究正處於代數幾何與量子信息的交岔口」。

來源:cnBeta