導語
網絡是有限的度量空間，其距離由節點之間最短路徑所定義，但這並非網絡幾何結構的唯一形式，網絡的幾何結構也可以通過隱空間、動力學過程定義。近日發表在 Nature Reviews Physics 的長文綜述「Network geometry」，回顧了網絡幾何研究方法的核心理論和應用，並展望了未來複雜性科學研究的方向與挑戰。本文是對該綜述的要點簡介。
論文題目：
Network geometry
論文地址：
https://www.nature.com/articles/s42254-020-00264-4
除了將網絡定義為兩點之間最短距離組成的矩陣，還可以根據網絡在隱空間的幾何，及網絡的動力學過程來定義網絡的幾何結構。這三種定義是密切相關的，每一種都能夠很高效地發現諸如分形、標度不變性、自相似等網絡的基本特徵。網絡的幾何結構有很多實際用途，例如理解大腦的運作、網際網路中的路由。
從統計物理中，衍生出許多用於複雜網絡的分析方法。近20年來，這些方法被證明能復現真實世界網絡的諸多特徵，也能用於量化網絡的結構特徵對群體和臨界現象的重要性。這些方法中就包含了該綜述的主題：網絡幾何（network geometry）。
複雜網絡能夠在恰當的尺度變化下，保持自相似性，這意味著網絡的幾何特徵並不簡單。最初的研究方法，多來自分形幾何。該範式帶來了可以將網絡分為一般類（university class）的重整化方法，這些方法可用於理解網絡的生成機制，及其時序演化過程。
之後，研究者發現網絡的分形特徵，可以在更基礎的層次上，通過隱藏的雙曲幾何來解釋。隱空間的概念自從上世紀提出後，被用做對社交網絡中的的節點一致性建模。在這些模型中，節點被置於相似度空間，節點間的連邊是隨機的生成的，距離越近可能性越高，這意味著相似度越高的節點越容易被連接。
雙曲映射成為了最常用的解釋很多真實網絡特徵（例如網絡的可傳導、網絡中的社團、多尺度結構）的統一框架。由於雙曲幾何的對稱性在洛侖茲群上是同態的，雙曲幾何中的特徵，不僅能解釋網絡的自相似性，還能解釋網絡生成過程的動力學規則。
由於上述性質，網絡幾何有很多實際的應用。例如在信息或疾病的傳播中，引入基於交通的衡量尺度以及對應的擴散幾何，能幫助解釋時空演化過程的網絡動力學。這為很多相關領域的新研究指明方向。
該綜述原文雖然長達23頁，但對網絡幾何的介紹仍然是概略性的，並未完全囊括。對該話題感興趣的讀者，請詳細閱讀該綜述。下文截取原文中關鍵的幾幅圖，簡要介紹網絡幾何的應用領域：
網絡重整化：三種網絡壓縮的方式
隨著網絡節點數目的增加，如何在對網絡進行數據壓縮的同時，還保留網絡原有的性質？這是網絡重整化的一類應用場景，綜述梳理了三種不同的方法。
上圖分別展示了三種網絡壓縮方法。其中，圖a和圖b對應的方法是最短距離重整化，左圖代表將兩點之間最短路徑依次為1，2及3的節點簡化為一個點，左圖指出這樣簡化之後，網絡的結構不變。圖c和圖d對應的方法是度閥值重整化法：按照節點的度數，去掉度數低於1，2，3的節點，右圖展示使用該方法對網際網路路由網絡進行簡化後，網絡的平均聚類係數和重整化之後的度數的關係不變。圖f描述對人類新陳代謝網絡通過改變最短路徑的長度（圖e），進行幾何重整化，重整化後的網絡尺寸更小，但保持了原網絡的社團結構（相同顏色的點代表屬於同一個社團，其拓撲結構不變）。
從小世界網絡到分形網絡
複雜網絡廣為人知的兩個性質，小世界和分形，可以通過網絡幾何連接起來。下圖展示了將最左邊的分形網絡，通過按照一定比例，隨機重新設定節點間的連接，讓網絡先變為包含捷徑的分形網絡，之後變為具有小世界性質的隨機網絡。
根據描述網絡幾何的兩個指標，冪律係數及相關性指數，可以將網絡進行分類，如圖3所示。其中具體的每一個數據集描述見http://jamlab.org
按照描述網絡自相似性的兩個指標：冪律係數（橫軸）及節點相關性指數（縱軸）對不同網絡進行分類。圖中實線代表的網絡為隨機網絡，藍色區域的網絡，關鍵節點（hub）的聚集效應比隨機網絡更強，橙色的區域的關鍵節點聚集效應比隨機網絡更小。而縱軸2處的實線，分隔了包含分形與非分形的網絡，故綠色區域的網絡，其特點是層次化的標度一致。
網絡重整化的過程代表了網絡的時序演化
前文介紹了通過最短距離，對網絡進行重整化的方法。實際上，網絡從最初演化的過程，可以看成是反向的重整化，即網絡中的節點不斷分化，產生在同一個群落中的新連接，如圖4所示。
圖5展示了酵母進化過程。最早共同祖先的蛋白質相互作用網絡相對簡單。隨著進化，參與反應的蛋白質功能分化。由於其在網絡中處在相近的社團中，能通過重整化，依據幾何結構構建不同進化階段的蛋白質相互作用網絡。
雙曲空間映射，改變對網絡幾何的描述方法
通過雙曲幾何，將世界貿易網絡進行映射，如圖6所示，可以看到中美兩國位於網絡中心。產業結構相似的國家，例如日本、韓國、新加坡（JPN、ROK、SIN）聚在一起。這說明了對網絡進行雙曲幾何的映射，能夠自動化對複雜系統建模，並反映出節點間的相似性。
另一個例子是對地圖中代表不同高度的節點進行雙曲映射後，能夠近似地找出最短的路徑，如下圖：
對地圖中不同高度的位點組成的網絡進行雙曲映射的結果，圖中黃點為出發節點，綠點為終點，紅線為等高線，藍線為最短路徑。該圖反映了雙曲映射後，相似的節點聚在一起，從而能夠通過最短路徑，近似地等價於實際的等高線。
網絡中的有效距離決定節點間的傳播
最後一個網絡幾何的應用，是研究網絡幾何對網絡中信息傳播的影響。下圖對比了使用實際地理距離和網絡節點間的有效距離，分別對2009年源自香港的H1N1型流感傳播過程的描述。可以看到，使用節點間的有效距離時，不同地區，位於不同時間的病例數位於一條直線上。據此可以對病毒/信息的傳播範圍進行預測。
2009年H1N1病毒的傳播過程，紅點越大，傳播數越多。美國因為航空網絡等原因，與香港的有效距離更近，所以實際上病毒疫情在美國的爆發早於在中國的爆發。在考慮了網絡間節點的有效距離（例如兩點之間通過飛機連接）後，發現有效距離越近，爆發越早（圖8-c）。
回顧網絡幾何的三個關鍵詞
我們熟悉的幾何是歐氏幾何，而網絡的幾何，因為節點處於非歐空間，因此更為抽象及形式化。數十年來的研究，網絡幾何相關的方向已有數十個，具體內容請閱讀該綜述論文。該綜述總結了網絡幾何的三個關鍵詞：
第一是「自相似」，具有分形性質的網絡，允許不同度數的節點以相似的方式自組織，從而使得網絡的重整化和一般類成為可能。
第二是「雙曲空間」，通過改變網絡幾何的描述方式，將網絡映射到雙曲空間，可以自然地展示小世界、節點異質性、聚類、社團結構、網絡中的對稱性和連通性等網絡屬性，並可以通過多種網絡重整化方法對網絡進行多尺度展開，以揭示複雜網絡在各尺度下的自相似性。
第三是是「運動學距離」（kinematic distances）。網絡動力學過程會產生運動學距離，它表征了系統功能的有效幾何形狀。因此考慮網絡的生成過程，能夠比單純考慮網絡幾何本身，更好地幫助人們理解網絡的功能和性質。對於理解網絡所描述的複雜系統中的跨層次自組織和由信息交流帶來的湧現現象，網絡幾何也是一個有力的工具。
總之，網絡幾何的發展提供了一個新的理論框架，讓研究者可以深入了解複雜系統的基本原理，並且更廣泛地結合物理實際。該領域未來有望與其他物理領域產生有價值的交叉成果。
郭瑞東 | 譯者
劉培源 | 審校
鄧一雪 | 編輯
商務合作及投稿轉載｜[email protected]
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來源：kknewsNature Reviews Physics綜述：網絡幾何
